Matematika, bizonyítás (? )

Indirekt bizonyítás:

Tegyük fel, hogy sikerült a leírt feltételnek megfelelő k+1 db számot találni, amelyek közt egyik se osztója a másiknak. Jelöljük ezek halmazát H-val!

Mivel csak k db páratlan szám lehet, ezért kell legyen a kiválasztottak közt legalább egy páros.

Jelölje M a párosok halmazát a k+1 db szám között. Legyen |M|=m, azaz a kiválasztottak között m darab páros van (m>0).

Osszuk el M minden elemét 2-nek a lehető legnagyobb hatványával, amivel osztható! (Pl. a 28 esetében a 7-et kapjuk.)

Az így kapott számokra igaz, hogy

a) mind páratlanok

b) nem szerepelnek H-ban

c) csupa különbözőek.

Tehát az M-belieknek van m darab "párjuk", melyek mind páratlanok és nincsenek H-ban. Legyen ezeknek halmaza M*.

Most ott tartunk, hogy találtunk m darab H-beli páros és m darab H-n kívüli páratlant.

Akkor H-n és M*-on kívül még n-m-1 darab szám van, ezek közt kell legyen a maradék n-m darab páros szám, amik nincsenek H-ban.

Ez pedig lehetetlen, mert eggyel több a számuk!

Újra, javítva:

Indirekt bizonyítás:

Tegyük fel, hogy sikerült a leírt feltételnek megfelelő k+1 db számot találni, amelyek közt egyik se osztója a másiknak. Jelöljük ezek halmazát H-val!

Mivel csak k db páratlan szám lehet, ezért kell legyen a kiválasztottak közt legalább egy páros.

Jelölje M a párosok halmazát a k+1 db szám között. Legyen |M|=m, azaz a kiválasztottak között m darab páros van (m>0).

Osszuk el M minden elemét 2-nek a lehető legnagyobb hatványával, amivel osztható! (Pl. a 28 esetében a 7-et kapjuk.)

Az így kapott számokra igaz, hogy

a) mind páratlanok

b) nem szerepelnek H-ban

c) csupa különbözőek.

Tehát az M-belieknek van m darab "párjuk", melyek mind páratlanok és nincsenek H-ban. Legyen ezeknek halmaza M*.

Most ott tartunk, hogy találtunk m darab H-beli párosat és m darab H-n kívüli páratlant.

Akkor H-n és M*-on kívül még k-m-1 darab szám van, ezek közt kell legyen az a maradék k-m darab páros szám, amik nincsenek H-ban.

Ez pedig lehetetlen, mert eggyel több a darabszámuk!