Jó matekosok, segítene valaki ebben a pár kérdésben? (feladatok lennt)

1., Kérdés magyarázata: megvan adva egy másodfokú egyenlet, ennek van két (nem feltétlen különböző) gyöke. A másodfokú egyenleted úgy van megadva, hogy van benne egy paraméter, ami számodra játéklehetőséget ad, hiszen ha más számnak veszed az m paramétert, akkor más másodfokú egyenletet fogsz kapni. A feladat úgy megadni az m paramétert, hogy a másodfokú egyenleted mindkét gyöke ugyanaz legyen, azaz csak 1 gyöke legyen.

Megoldás: átrendezed az egyenletet, és megoldod a másodfokú megoldóképletével:

a., 3x^2+(2m-1)x+(m-5)=0, ennek a gyökeit a megoldóképlet szerint felírod. Abban a felírásban lesz a diszkrimináns nevezetű rész, biztos tanultátok, az a gyökjel alatti rész. Ez az, ami elkülöníti a két gyököt, hiszen a két gyök képlete között pont ennek a résznek a +- előjele a különbség. Tehát pontosan akkor esik egybe a két gyök (másképp mondva egy gyök van), ha a diszkrimináns 0.

Itt a diszkrimináns (2m-1)^2-12(m-5), ha jól látom. Az m-et úgy kell megválasztani, hogy ez 0 legyen, azaz meg kell oldanod az egyenletet m-re.

b., ugyanígy, ha az a-t megértetted, akkor a b.,-n gyakorolhatsz

2., Ha van egy másodfokú kifejezésed: ax^2+bx+c, akkor azt írhatod gyöktényezős alakban is a(x-q1)(x-q2)=ax^2+bx+c, ahol a q1,q2 a két gyök. Ebben az a jó, hogy ha kifejted, akkor ax^2-(q1+q2)x+q1*q2=ax^2+bx+c kapsz, amiből b=-(q1+q2) = "a gyökök összegének mínusz 1szerese", és c=q1*q1="a gyökök szorzata".

Tehát ha eléd raknak egy másodfokú egyenletet, akkor már számlás nélkül rögtön tudod a két gyök összegét és szorzatát. Itt ezek: az összeg=-b=7, a szorzat=c=5.

A reciprok- és négyzetösszegeket pedig a szorzat és összegből kell kiügyeskedni:

reciprokösszeg: 1/q1 + 1/q2 = (q1+q2)/(q1*q2), azaz összeg/szorzat, ami itt 7/5.

Négyzetösszeg: q1^2+q2^2=(q1+q2)^2-2*q1*q2, ami itt behelyettesítve 7^2-2*5=24.