Matek, függvények. Tudnál segíteni?

Látszólag nem erről szól a következő három videó, hanem trigonometrikus egyenlőtlenségekről, de ha megnézed ezeket, akkor látni fogod, hogy a megoldásuk 80% -ban a te kérdéseidre adnak részletes választ:

http://www.youtube.com/watch?v=oqP_oIKNuvU

http://www.youtube.com/watch?v=ydF082gYr2I

http://www.youtube.com/watch?v=lLfFZxu2M5I

Ha még ezek után is marad kérdésed, írd meg.

Ezeket nevezetes szögfüggvényeknek nevezzük. Bizonyos értékekről tudjuk, hogy az első negyedben milyen fokhoz/ívhosszhoz tartozik. Ezek a fokok a 0°, 30°, 45°, 60° és 90°, radiánban mérve 0, pí/6, pí/4, pí/3 és pí/2

Először nézzük a 0°-ot és a 90°-ot!

Tudjuk, hogy a szinuszfüggvény képe a 0-ból indul és 90°-nál maximuma van, ezért sin0°=0 és sin90°=1

A koszinuszfüggvény képe 0-nál 1-ből indul és 90°-nál 0 lesz, ezért cos0°=1 és cos90°=0

Mivel tgx=sinx/cosx, ezért tg0°=sin0°/cos0°=0/1=0, 90°-nál nem értelmezzük, mivel cos90°=0, és 0-val nem oszthatunk.

Mivel ctgx=cosx/sinx=, ezért 0-ban nem értelmezzük, ctg90°=0

Mielőtt a többi szöget megnéznénk, először tisztázzuk, hogy mi is az a szinusz, koszinusz, tangens, kotangens. Ezek egy derékszögű(!) háromszögben megadják két meghatározott oldal arányát:

-szinusz: szemközti befogó/átfogó

-koszinusz: szög melletti befogó/átfogó

-tangens:szöggel szemközti befogó/szög melletti befogó

-kotangens:szög melletti befogó/szöggel szemközti befogó (a tangens reciproka).

Ha ezeket tudjuk, már meg tudjuk határozni a fenti szögek szögfüggvényértéket, ha így járunk el:

-30° és 60°: vegyünk egy 2 egység oldalhosszúságú szabályos háromszöget, majd húzzuk be a magasságvonalát. Ekkor 2 egybevágó, derékszögű háromszöget kapunk, melynek átfogója 2 egység, befogói 1 (és a Pitagorsz-tételből adódóan) gyök(3) egység. Az 1 és 2 egységnyi oldalak hajlásszöge 60° (mivel eredetileg a szabályos háromszög szöge volt), a gyök(3) és 2 egységnyi oldalak hajlásszöge 30° (mivel eredetileg 60° volt és a magasságvonal felezte a szöget). Ebben a háromszögben már fel tudjuk írni a szögfüggvényeket:

sin30°=1/2, sin60°=gyök(3)/2

cos30°=gyök(3/2), cos60°=1/2

tg30°=1/gyök(3) (gyöktelenítéssel gyök(3)/), tg60°=gyök(3)/1=gyök(3)

ctg30°=gyök(3)/1=gyök(3), ctg30°1/gyök(3)=gyök(3)/3

Nem véletlen, hogy sin30°=cos60° és sin60°=cos30°. Van egy olyan szabály, hogy sin(90°-alfa)=cos(alfa) és cos(90°-alfa)=sin(alfa), ez viszont a tangens-kotangens viszonyára nem igaz, ott ctg(alfa)=1/tg(alfa).

-45°: vegyünk egy 1 egység befogóhosszú egyenlő szárú háromszöget, ekkor az átfogó gyök(2), a befogó és az átfogó hajlásszöge 45° (mivel a háromszög egy négyzet fele), ekkor:

sin45°=cos45°=1/gyök(2)=gyök(2)/2

tg45°=ctg45°=1.

Most nézzük, hogyan terjeszthető ki 90°-nál nagyobb szögekre a szögfüggvények. Az 1. videón látható módon vegyünk egy egységkört, az origóból induljon ki egy (0;1) vektor, ezt fogjuk majd forgatni az origó körül. Forgassuk el ezt a vektort alfa<90° szöggel, ekkor egy derékszögű háromszöget tudunk képezni úgy, hogy a vektor végpontjából merőlegest állítunk az x tengelyre. Ebben az esetben a függőleges befogó hossza sin(alfa), a vízszintes befogóé cos(alfa), így a vektorunk a (cos(alfa);sin(alfa)) pontba mutat.

Tegyünk egy kis kitérőt, hogy egy nagyon fontos azonosságot meg tudjunk állapítani: ennek a háromszögnek egyik befogója cos(alfa), a másik sin(alfa), átfogója 1, hát írjuk fel a Pitagorasz-tételt: sin(alfa)^2+cos(alfa)^2=1. Ez tetszőleges szögre igaz és nagyon hasznos azonosság (lásd. tanulmányaid során: másodfokú trigonometrikus egyenletek).

Te térjünk vissza. Most az I: síknegyedben voltunk, itt a végpont mindkét koordinátája pozitív volt és alfa szöggel számoltunk. Forgassuk el a vektort a II. síknegyedbe. Ugyanúgy tudjuk a háromszöget megcsinálni, mint az előbb, vagyis a végpontból merőlegest húzunk a x-tengelyre. Látható, hogy a II. síknegyedben a vektor végpontjának az első koordináta negatív, a második pozitív. Mivel az előbb a koordináta (cos(alfa);sin(alfa)) volt, ezért a II. negyedben a koszinusz értéke negatív, a szinuszé pozitív. A II. negyedben 180°-alfa-val számolunk azért, mert amikor a háromszöget megcsináltuk, akkor a kisebbik szög szinuszát/koszinuszát vettük (mivel derékszögű háromszögben csináltuk), és ennek a szögnek a nagysága pont 180°-alfa, például, ha a 135°-nak a szinuszát akarjuk megtudni, akkor a vektort elforgatva 135°-kal, a II. negyedben egy 180°-135=45°-os derékszögű háromszöget kaptunk.

Nézzük a III. negyedet. Az előző gondolatmenetet folyatva, mivel itt mindkét koordináta negatív, így a szinusz és a koszinusz értéke is negatív, a III. negyedbe 180°+alfa-val tudunk eljutni.

A IV. negyedben a szinusz negatív, a koszinusz pozitív és 360°-alfa-val tudunk eljutni.

Hogy hogyan tudod a legkönnyebben megjegyezni, hogy melyik hol pozitív/negatív? Van egy nagyon egyszerű kis versike: "a szinusz északon pozitív, a koszinusz keleten". Ez azt jelenti, hogy a szinusz az I. és II. negyedben pozitív, míg a koszinusz az I. és a IV. negyedben.

Most nézzük, miért is periodikusak ezek a függvények: forgassuk el a vektort először 0<alfa<360°-os szöggel, majd 360°-kal. Ekkor ugyanoda jutottunk vissza, mint amikor csak alfával forgattuk el. Ezt a végtelenségig csinálhatnánk, mindig ugyanoda jutnánk vissza, vagyis sin(alfa)=sin(alfa+360°)=sin(alfa+720°)=..., általánosan sin(alfa+k*360°), ahol k tetszőleges egész(!) szám. Ugyanez igaz a koszinuszra is.

Most lássuk, mi a helyzet a tangenssel és a kotangenssel: mivel tg(alfa)=sin(alfa)/cos(alfa), ezért ez ott pozitív, ahol a két szögfüggvény előjele megegyezik, ez az I. és a III. negyedben van, a kotangenssel ugyanez a helyzet, mivel ctg(alfa)=cos(alfa)/sin(alfa). Ezeknek a szögfüggvényeknek a periódusa 180°, mivel az I. negyedben és a III. negyedben, valamint a II. negyedben és a IV. negyedben a hányados ugyanakkora.

Most, hogy ezeket tudjuk, vegyünk két példát a nevezetes szögfüggvényekre:

sin(x)=gyök(2)/2

Nincs mese, ezeket meg kell jegyezni, ha dolgozatnál nem használható se számológép, se függvénytábla.

Tudjuk, hogy a szinusz az I. és a II. negyedben pozitív, ezért csak ott lesznek megoldásai az egyenletnek. Tudjuk, hogy ennek az egyenletnek az I. negyedben 45° a megoldása, mivel sin45°=gyök(2)/2, de ha a fenti módon forgatjuk a vektort, 360°-onként ugyanazt az értéket kapnánk, ezért az I. negyedben x=45°+k*360° (k tetszőleges egész szám). Radiánban (pível), a következőképpen kell felírnunk: mivel pí=180°, ezért arányosan 45°=180°/4=pí/4, viszont a periódust is pí-vel kell felírnunk ilyenkor, tehát x=pí/4+k*2pí (k tetszőleges egész)

Kiszámoltuk, hogy az első negyedben 45°-nál van megoldás, a II. negyedben ezt felhasználva jutunk el (180°-alfa képletet felhasználva), tehát x=180°-45°+k*360=135°+k*360°, radiánban x=pí-(pí/4)+k*2pí=3pí/4+k*2pí, k tetszőleges egész. Ha beütjük a számológépbe a sin135°-ot, akkor valóban gyök(2)/2=0,70710678... értéket kapjuk.

Egy másik példa: cos(x)=-1/2

Ha negatív számmal egyenlő a szögfüggvény (és nem tudjuk kapásból, hogy melyik szögnek ennyi az értéke), akkor előbb érdemes megnézni, hogy az első negyedben mennyivel lenne egyenlő a pozitívja: cos(x)=1/2-nek az első negyedben 60°-nál (pí/3-nál) van megoldása. Ezzel a szöggel fogunk a negyedekben lépegetni. A koszinusz, mivel keleten pozitív, így a II. és a III. negyedben negatív. A II. negyedbe 180°-alva-val lépünk, így x=180°-60°+k*360°=120°+k*360°, radiánban: x=pí-pí/3+k*2pí=2pí/3+k*2pí, k tetszőleges egész (k helyett másmilyen számot is lehet választani, de mivel így tanítják, ez egy berögződés nálam). A III. negyedben 180°+alva-val számolunk, így x=180°+60°+k*360°=240°+k*360°, radiánban: x=pí+pí/3+k*2pí=4pí/3+k*2pí, k tetszőleges egész.

Remélem, hogy irományom érthető és hasznos lesz, ha mégsem érthető, kérdezz bátran!