Egy haromjegyu szamot a forditottjaval elosztva, a hanyados 4, a maradek pedig 87. Hatarozzuk meg a szamot, tudva, hogy a szazasok es egyesek kulombsege 5?

százasok: x

tízesek: y

egyesek: x-5

a szám: 100x+10y+x-5=101x+10y-5

a fordítottja: 100(x-5)+10y+x=101x+10y-500

Az értelmezési tartomány: x és y is 10-nél kisebb természetes szám lehet csak. Ennek ismeretében felírhatjuk az egyenletet.

101x+10y-5=4*(101x+10y-500)+87

Zárójelfelbontás után:

101x+10y-5=404x+40y-2000+87

Rendezés után:

303x+30y=1908

101x+10y=636

100x+10y+1x=636

Az utolsó alakban visszaírtam a számot helyiértékek szerint, a 100x és az 1x azt mutatják, hogy az első és az utolsó számjegy egyeznek, a tízesek helyen pedig más áll. Az egyenlet másik oldalán lévő szám 636, amely megfelel ezeknek a kritériumoknak, tehát idáig jól dolgoztam, megveregethetem a vállam. De a feladatnak persze még nincs vége, hiszen a 636-nak a fordítottja önmaga, a hányadosuk 1, és nincs maradék :)

101x+10y=636

10y=636-101x

y=(636-101x)/10

y-nak mindenképpen 10-nél kisebb természetes számnak kell lennie, ezért 636-101x osztható 10-zel, és kisebb, mint 100. Próbálkozással végigmehetünk a lehetséges x értékeken (x-re is ugyanaz az értelmezési tartomány, mint y-ra). x=0 nem jó, mert 636-0>100. x=1 sem jó, mert 636-101>100 stb. x=6 az első, ami jó lehet (és az egyetlen, mert x=7-re már negatív értéket kapunk). 636-606=30, ami kisebb, mint 100, és még 10-zel is osztható. Tehát x=6, ez egészen biztos. Ezt az egyenletbe helyettesítve y-ra 3-at kapunk, az egyesek helyén pedig x-5=1 áll. A szám, amelyet keresünk: 631. 136-tal osztva tényleg négyet, és maradékul 87-et kapunk. Még egy vállveregetés nekem.