Hány soros lehet a stadium, ha a befogadóképessége 11500 és 12000 között van?

Nem stadion akar lenni?

Az első válaszoló jó helyen keres, csak a szomszédban :) Amit ő említett az a mértani sorozat, ez pedig számtani sorozatos feladat.

Tudjuk, hogy a_1=200 és d=4, ebből már ki tudjuk számolni, hogy hány hely van a stadionban (számtani sorozat összegképlete):

S_n=n(2*a_1+(n-1)*d)/2, ahol n azt jelöli, hogy az n. sorig összeszámolva a helyeket hány hely van (a sorozat tagjainak összege). De azt is tudjuk, hogy 11500<=S_n<=12000, ezért felírhatunk két egyenlőtlenséget:

I.

11500<=n(2*200+4(n-1)/2 (n pozitív egész)

11500<=n(200+2(n-1))

11500<=198n+2n^2

0<=2n^2+198n-11500

0<=n^2+99n-5750

Képletből: n_1=41,055 és n_2=-140,055, de mivel ez negatív, ezzel nem nagyon kell foglalkoznunk.

Ez az egyenlőtlenség akkor valósul meg, ha n>=41,055, de mivel n pozitív egész, ezért csak a pozitív egész megoldások érdekelnek minket.

Ugyanezt az egyenlőtlenséget felírhatjuk 12000-rel is, viszont a reláció megfordul:

II.

12000>=n(2*200+4(n-1)/2 (n pozitív egész)

12000>=n(200+2(n-1))

12000>=198n+2n^2

0<=2n^2+198n-12000

0<=n^2+99n-6000

Képletből: n_3=42,425 és n_4=-141,425 (de n pozitív egész, ezért érdemben nincs jelentősége)

Az egyenlőtlenségnek akkor van megoldása, ha n<=42,425 és n pozitív egész.

Eljutottunk 2 egyenlőtlenséghez n-re nézve: 41,055<=n<=42,425 és tudjuk, hogy n egész. Ez az egyenlőtlenség csak n=42 esetén valósul meg, tehát 42-soros a stadion. Ha visszaellenőrzünk:

S_n=42(2*200+4*41)/2=11844, ami eleget tesz a kiinduló adatoknak. Esetleg még 41-gyel és 43-mal is ki lehet számolni, hogy lássuk, hogy csak ez az egy megoldás van, de ennek kiszámolását már Rád bízom.