Legyszives. Matematika. Van-e olyan tizes szamrendszerbeli ketjegyu szam, amely egyenlo a jegyeinek a szorzataval?

Ha a szamjegyek a és b, a az első, b a második, akkor a szám 10a+b. a,b egész.

10a+b=ab

10a = b*(a-1)

A bal oldal osztható 5-tel tehát a jobboldalnak is oszthatónak kell lennie

vagyis 4 eset lehet:

a-1=5, b=5, a-1=0, b=0

Ha a-1=5

a=6

10*6 = b*5

b=12 nem lehetséges, hiszen b<10

ha b=5

10a=5(a-1)

5a=-5

a=-1

megint nem lehetséges.

Ha a-1=0

a=1

10*1=b*0

Nyilván nem lehetséges.

Ha b=0, akkor

10a=0(a-1)

a=0

vagyis a szám 0, ami nem számít 2 jegyűnek

vagyis nincs megoldás.

Az első tulajdonság nyilvánvaló, rajzolj ábrát, nézd meg a csúcsból való nagyításokat, mi visz egy kis kört az eredeti háromszög beírt körébe.

Egy háromszöget ha a beírt kör középpontjából felbontasz 3 haromszögre, akkor látszik, hogy a háromszög területe

T=(1/2)*(r*a+r*b+r*c)= r*K/2

Amikor kettébontod a háromszöget, akkor

T1+T2=T

r1*K1/2+r2*K2/2=r*K/2

2-vel szorozva

r1K1 + r2K2 = rK

Nyilván K1+K2 = K + 2h, ahol h-val a AD hosszát jelöltem.

rK = r1K1+r2K2 = r1(K-K2+2h) + r2(K-K1+2h) =

(r1+r2)K - r1(K2-2h) - r2(K1-2h) < (r1+r2)K

Ez utóbbinál azt kell látni, hogy a háromszög egyenlőtlenség miatt K2-2h>0 és K1-2h>0.

(rajzold fel)

Vagyis

rK < (r1+r2)K

osztva mindkét oldalt K-val:

r < r1+r2