Két bizonyítás? Le tudnátok vezetni?

Látom már napok óta szenvedsz ezekkel... :D

1. feladat:

sin10*sin30*sin50*sin70 = cos20*cos40*cos60*cos80

(2*sin20*cos20)/(2*sin20) * T3 (többi három tényező)

sin40/(2*sin20) * T3

(2*sin40*cos40)/(2*2*sin20) * T2

sin80/(2*2*sin20) * T2

(2*sin80*cos80)/(2*2*2*sin20) * T

sin160/(8*sin20) * T = 1/8 * T

1/8 * cos60 = 1/8 * 1/2 = 1/16

Nem tudom mennyire világos, remélem érted :)

Miután a sinusos egyenletet átalakítottuk [cos(90-x)] segítségével, végig ezzel az egyenlettel fogallkozunk:

cos20*cos40*cos60*cos80

(2*sin20*cos20)/(2*sin20) * cos40*cos60*cos80 =

= sin40/(2*sin20) * cos40*cos60*cos80 =

=(2*sin40*cos40)/(2*2*sin20) * cos60*cos80 =

= sin80/(2*2*sin20) * cos60*cos80 =

=(2*sin80*cos80)/(2*2*2*sin20) * cos60 =

= sin160/(8*sin20) * cos60 = 1/8 * cos60 =

= 1/8 * 1/2 = 1/16

2.

Kicsit átrendezve ezt kell belátni:

2·2·sin20·sin40·sin80 = √3/2 = sin60

(Mindegyik szög fokban van, de nem írok ° jeleket enetúl sem.)

Ezeket az azonosságokat használjuk fel:

2·sinα·sinβ = cos(α-β) - cos(α+β)

2·cosα·sinβ = sin(α+β) - sin(α-β) = sin(α+β) + sin(β-α)

Ezeket lehet, hogy tudod fejből is. Kicsit más formában benne vannak a függvénytáblában, meg könnyen be is lehet látni őket.

Ezt is használ

2·sin20·sin40 = cos20 - cos60

A teljes kifejezés pedig:

2(cos20 - cos60)sin80

= sin100 + sin60 - (sin140 + sin20)

sin100 = sin(90+10) = sin(90-10) = sin80

sin140 = sin40 hasonlóképpen

Vagyis ez jött ki eddig:

= sin80 + sin60 - sin40 - sin20

Mennyi sin80 - sin40 ?

Ugyanazzal a fenti összefüggéssel viszafelé:

sin(60+20) - sin(60-20) = 2·cos60·sin20 = 1·sin20

Ez kiejti a másik sin20-at, vagyis az egész kifejezésből csak a sin60 marad, amit be akartunk látni.

Az 1. feladat megoldása nagyon jó fentebb. Kis kiegészítés hozzá, amiről most olvastam:

Az első válaszoló által kitalált ötlet általánosítható így:

Mivel sin 2x = 2·sinx·cosx

ezért cosx = sin 2x/(2sinx)

És persze cos(k·x)=sin(2k·x)/(2·sin(kx))

Na most ha nézzük ezt az n tagú szorzatot:

cos(x)·cos(2x)·cos(4x)·...·cos(2ⁿ⁻¹x)

= sin2x/2sinx · sin4x/2sin2x · sin8x/2sin4x · ... ·sin 2ⁿx/2sin2ⁿ⁻¹x

Vedd észre, hogy a rákövetkező nevező pont duplája az előtte lévő számlálónak. Vagyis majdnem mindent ki lehet egyszerűsíteni, ez marad:

sin(2ⁿx)/(2ⁿ·sinx)

Ennek a speciális esete x=20° és n=3 esetére a mostani kifejezés:

cos20°·cos40°·cos80° = 1/8 · sin160°/sin20° = 1/8

Lásd:

[link]

Kicsit elrontotta a gyk.hu az n tagú szorzatot, ez az igazi:

cos(x)cos(2x)cos(4x)...cos(2ⁿ⁻¹x)