Legyszives. Oldjuk meg a √|2x+1|=x/4 +2 egyenletet a valos szamok halmazan?

kikötések: a gyökjel alatt >= mint 0, azaz az abszolútérték jelet kibontva: 2x+1>= 0, és -2x-1>= 0, innen x>= -0,5, x>= 0,5, a másik oldal at értékkészlet vizsgálat miatt: x/4 +2>= 0, innen x>= -8, a legerősebb feltétel a 0,5, ennek kell teljesülnie.

emeld mindkét oldalt négyzetre: | 2x+1|= x^2 /16 +x+4

bontsd fel az abszolútérték jelet: 2x+1= ua. és -2x-1= ua. ez utóbbi nem hoz majd jó megoldást, így azt nem is írom le, de ugyanígy kellene.

szorzunk 16-tal:

32x+16=x^2+16x+64, 0-ra rendezzük: 0= x^2 -16x+48

megoldava a megoldóképlettel: x=12 és 4, ha visszaellenőrzöd is kiderül, hogy mindkettő jó megoldás.

Kikötés:

A négyzetgyök alatt az abszolútérték miatt nem lehet negatív, tehát arra nem kell kikötést csinálni. Viszont a bal oldal nem lesz negatív soha, tehát x/4 + 2 sem lehet negatív; erre kell:

x/4 + 2 ≥ 0

x ≥ -8

Emeljük négyzetre:

|2x+1| = x²/16 + x + 4

Bontsuk fel az abszolút értéket. Két ágra kell válnunk:

a) 2x+1 ≥ 0, vagyis x≥-1/2

2x+1 = x²/16 + x + 4

x² - 16x + 48 = 0

oldd meg a megoldóképlettet. Mindkét megoldás kielégíti a feltételt, tehát jók.

b) 2x+1 < 0, tehát x<-1/2 (de persze x≥-8 is kell!)

-2x-1 = x²/16 + x + 4

x² + 48x + 80 = 0

Ezt is oldd meg a megoldóképlettel, az egyik most kisebb lesz -8-nál, tehát azt el kell dobni.

Vagyis 3 megoldás lett összesen.

---

Megjegyzés: Ha nem tettünk volna kikötést arra, hogy a jobb oldal nem lehet negatív, akkor a négyzetreemelés maitt bejött volna egy hamis gyök, amit ellenőrzéssel lehetett volna csak kiszűrni. Így viszont már a kikötéssel kiszűrtük.