Mátrix sajátértéke és sajátvektora lépésről lépésre, hogy?

Fel kell írni az A-λI mátrix determinánsát, mert annak 0-nak kell lennie (I az egységmátrix)

(1-λ 0 2)

(-2 4-λ 2)

(1   0  0-λ)

A determináns pedig:

(1-λ)(4-λ)(-λ) + 2(-2·0 - (4-λ)·1) = 0

kifejtve és összevonva:

-λ³ + 5λ² - 2λ - 8 = 0

(A bal oldalt sozkták karakterisztikus polinomnak hívni)

Ennek a gyökei: ehhez próbálgatás is kell. Abból jön, hogy λ=-1 megoldás. Utána polinomosztás, utána már megy a másodfokú megoldóképlettel a többi gyök.

A próbálgatásban segíteni szokott az, hogy ha van egész gyöke, akkor az osztója a λ nélküli utolsó tagnak. Vagyis most 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8 valamelyike lehet. -1, 2 és 4 ki is jönnek, ezek a gyökök. De a -1 után a 2 meg a 4 már másodfokú megoldóképlettel is kijön, ha elosztod a polinomot az (x+1) polinommal.

Szóval a sajátértékek:

λ₁ = -1

λ₂ = 2

λ₃ = 4

A sajátvektorokhoz pedig meg kell oldani az (A-λI)·v = 0 egyenletet mindhárom λ-val. Akár direktben, akár Gauss eliminációval, vagy ahogy akarod.

Mondjuk λ=-1 esetén: Az A-λI mátrix ez lesz:

(2 0 2)

(-2 5 2)

(1 0 1)

Kapásból látszik, hogy az 1. és 3. sor nem függetlenek, nem baj, sőt. Gauss eliminációval ez lesz: (az első sort hozzáadom a másodikhoz, aztán az elsőt felezem, majd azt kivonom az utolsóból)

(1 0 1)

(0 5 4)

(0 0 0)

Szóval az egyenletek:

x + z = 0

5y+4z = 0

Mondjuk a z lehet a szabad változó, aminek ha az értéke z=s, akkor a megoldások:

x = -s

y = -4s/5

Ezekkel a sajátvektor:

v = (x y z) = s·(-1 -4/5 1)

Persze oszlopvektor, de olyat nehéz itt írni.

Az egyik sajátvektor mondjuk legyen ez: s=-5 esetén:

v = (5 4 -5)

Ez azért jó, mert nincsenek benne törtek, de bármilyen más s is jó sajátvektort ad.

Hasonlóan kell a másik két sajátértékkel is számolni.