Hogyan kell ezt a feladatot megoldani? (diff. Szám. , szélsőérték )

A 2. az egyszerűbb: T konstans.

T=a*b -ből b=T/a. Kerület: k(a)=2a+2T/a. Ennek kell keresni a szélsőértékét.

A másikhoz csinálok rajzot.

A dinamikus rajz meg is van, de a szép megoldás nem jön össze:

[link]

1.

r sugarú kör köré írt egyenlő szárú háromszög kerülete mikor minimális:

A háromszög alapja legyen a, szára b. Az alap felét jelöljük x-szel. (x>r esetén jön csak ki háromszög.) Az alapon fekvő szögeket jelöljük α-val.

A kerület a+2b = 2(x+b)

A kerületnek ugyanakkor van minimuma, mint amikor x+b-nek.

Fejezzük ki b értékét x-szel:

Ugyanazokat a jelöléseket alkalmazom, mint amik az előző válasz ábráján vannak. pl. x=DA=DB, r=DK, b=AC=BC

A kör középpontját (K) a háromszög alapon fekvő csúcsával (B) összekötő szakasz hossza √(x²+r²). KB az α szög szögfelezője, hisz a háromszögbe írt kör középpontja a szögfelezők metszéspontja. Ezért:

cos α/2 = x/√(x²+r²)

Tudjuk, hogy:

cos α = 2·cos²α/2 - 1

cos α = 2·x²/(x²+r²) - 1 = (x²-r²)/(x²+r²)

Másrészt:

cos α = x/b

Ebből már kijön b:

b = x·(x²+r²)/(x²-r²)

A kerület fele pedig:

b+x = x·( (x²+r²)/(x²-r²) + 1)

b+x = x·( 2x²/(x²-r²) )

b+x = 2x³/(x²-r²)

Ezt kell deriválni, stb. Csináld meg.

A 0 valamint negatív gyök nem érdekes, hisz x>r kell mindenféleképpen. Leírom a végeredményt is ellenőrzésképpen:

x = r·√3

(Ez egyébként az egyenlő oldalú háromszöget jelenti, gondolj bele.)