Mik az alábbi lineáris algebrai feladatok megoldásai?

1.)

A kvadratikus alak azt jelenti, hogy x², y², z², xy, xz és yz valahányszorosainak az összege van benne (ℝ³ esetén). Ha a vektor kétszeresét vesszük, akkor x,y,z mind a duplája lesz, ezek a négyzetes illetve szorzatos tagok pedig a 2²=4-szeresek, tehát Q(2a)=4·Q(a)=20

2.)

Azt hiszem úgy kell megcsinálni, hogy tudjuk, hogy szimmetrikus mátrixok sajátvektorai ortogonálisak. És mivel ha 2c-1 = c+1, akkor szimmetrikus a mátrix. Vagyis c=2 esetén lehet neki ortonormált bázisa.

Ez a tétel viszont nem "akkor és csak akkor" típusú, tehát lehet másik megoldás is. Az viszont nem jön ki ilyen egyszerűen, ezért nem tudom, az kell-e: Ha végigszámolja az ember hivatalosan a sajátértékeket meg a sajátvektorokat, akkor lesz két csúnya sajátérték a c függvényében, és aztán két hasonlóan csúnya sajátvektor szintén a c függvényében. Aztán ha felírjuk a két sajátvektor skalárszorzatát, és megoldjuk arra, hogy a szorzat nulla (vagyis a vektorok ortogonálisak), akkor c-re lesz egy másodfokú egyenlet, aminek a két megoldása a 2 és az 1/2. Tehát nem csak a 2, hanem az 1/2 is jó megoldás. Nem tudom, hogy ez ki tud-e jönni valahogy egyszerűbben.

Elég azt nézni, hogy ortogonálisak-e, nem kell normálni is, hisz a szorzat akkor is 0, ha a hosszuk nem egységnyi. És ha van ortogonális bázis, akkor ortonormált is van, hisz egy sajátvektor akárhányszorosa is sajátvektor.

3.)

Ha mondjuk az u meg v vektorokra (u≠v) igaz, hogy φu = φv, akkor az u-v (≠0) vektor képe: φ(u-v) = φu - φv = 0. Ez azt jelenti, hogy az u-v vektor benne van φ magterében. Ez azt is jelenti, hogy u-v akárhányszorosa is benne van a magtérben. A magtérnek tehát u-v egy bázisa, dimenziója tehát legalább 1: dim(Ker φ) ≥ 1

A dimenziótétel miatt most dim(ℝ⁴) = dim(Ker φ) + dim(Im φ), ezért

dim(Im φ) = 4 - dim(Ker φ) ≤ 3

Tehát φ képtere maximum 3 dimenziós.