Fizika tétel: Írja fel a síkhullám hullámfüggvényének, mint a hely és az idő függvényének matematikai alakjait?

Szilvásbukta

A harmonikus rezgőmozgás kitérés idő függvényéből: y(t)=A*sin((2*Pi/T)*t) (kezdőfázis=0) célszerű kiindulni. Tegyük fel, hogy a pontszerű hullámforrás az origóban van, és attól x távolságra szeretnénk megadni a hullám kitérést, mint az idő függvényét. Ekkor figyelembe kell vennünk azt az időt, ami alatt a hullám az x távolságot c sebességgel befutja: x/c. A hullámfüggvénynek 2 alakját is felírhatjuk. Az egyik a retardált hullámfüggvény, ahol az x/c idővel korábbi esemény hat az adott helyre, ekkor y(x,t)=A*sin((2*Pi/T)*(t-x/c))=A*sin((2*PI/T)*t-(2*Pi/lamdba)*x)=A*sin(ohmega*t-k*x), a másik az avangált hullámfüggvény, ahol az x/c idővel későbbi esemény hat az adott helyre (azaz a jövő hat a jelenre), s ekkor y(x,t)=A*sin((2*Pi/T)*(t+x/c))=A*sin((2*PI/T)*t+(2*Pi/lamdba)*x)=A*sin(ohmega*t+k*x). Ha bevezetjük a hullámszám vektort (k vektrort), melynek hossza 2*Pi/lambdba és iránya a hullám terjedés irányába mutat, az x helyére az adott pontba mutató helyvektort írjuk, akkor megkapjuk a síkhullám egyenleteit. y(rvektor,t)=A*sin(ohmega*t-kvektor*rvektor) vagy y(rvektor,t)=A*sin(ohmega*t+kvektor*rvektor). Koplexfüggvénytani alakja tömören: y(rvekotr,t)=A*exp(i*(ohmega*t-/+kvektor*rvektor). (Természetesen kvektor*rvektor skaláris szorzat.)