Valaki segítene másodfokú függvény feladatban? én egyáltalán nem értem?

Én megpróbáltam érthetően elmondani itt:

http://www.youtube.com/watch?v=1NB8UIREgNw

A videón látható munkalap (ahová a saját feladataidat beírhatod) itt érhető el:

[link]

Ha ez sem elég szóljál!

Nézzük pl. ezt:

t(x) = 2(x+1)² - 4

1. Ez is másodfokú fv.

2. Alakja: elcsúsztatott és megnyújtott parabola.

Miért?

- Ha egy függvényből kivonunk 4-et, akkor elcsúsztatjuk lefelé, hisz ha levonás nélkül az értéke valami, akkor levonás után 4-gyel alatta lesz.

- Ha az x-hez hozzáadunk 1-et (és utána emeljük négyzetre), akkor elcsúsztatjuk balra 1-gyel, hisz amelyik x-nél a függvény értéke eredetileg felvett valamilyen értéket, azt most eggyel kisebb x értéknél veszi fel.

- Ha egy függvényt megszorzunk 2-vel, akkor a képét megnyújtjuk felfelé, hisz ha előtte felvett valamilyen értéket, akkor most a dupláját veszi fel.

3. Zérushely: meg kell oldani ezt az egyenletet:

t(x) = 0

2(x+1)² - 4 = 0

(x+1)² = 2

|x+1| = √2          (abszolút értékbe kellett tenni!)

x+1 = ±√2

x₁ = -1 + √2

x₂ = -1 - √2

Ez a két zérushelye van.

4. Szélsőérték:

A másodfokú függvény képe egy talpán álló parabola, ha a négyzetes tag előjele pozitív, mint most. Olyankor maximuma nincs, de minimuma van. (Ha negatív lenne, mint pl. az i(x) függvénynél, akkor lefelé fordított parabola lenne, aminek pedig minimuma nincs, de maximuma van.)

Mivel egy szám négyzete mindig pozitív, vagy legfeljebb 0, ezért ott van a minimuma a függvénynek, ahol a négyzetes tag értéke nulla, hisz a négyzetes taghoz konstans mínusz 4-et adunk hozzá. Tehát az érték olyankor a legkisebb, amikor a -4-hez nullát adunk hozzá. A minimum értéke ezek után kapásból látszik, hogy y = -4 lesz. (nem x, azt rosszul írhattad fel az órán.)

A minimum helye: ahol (x+1)² = 0, vagyis x+1 = 0. Ez x=-1.

Ezek szerint az (x; y) pont, ahol a minimum van: (-1; -4)

5. Paritás:

Páros a függvény, ha f(-x) = f(x) (szimmetrikus az y tengelyre)

Páratlan a függvény, ha f(-x) = -f(x) (szimmetrikus az origóra)

A parabola maga az páros. Mivel most a parabola el van csúsztatva balra eggyel, ezért nem páros, és persze nem is páratlan.

Az órai példánál ezt is elírtad: "nem páros" helyett "nem páratlan" kellett volna így:

Az x²-ről van szó:

páros, mert szimmetrikus az y tengelyre, nem páratlan, mert nem szimmetrikus az origóra.

6. Monotonitás:

Elcsúsztatott parabolánk van. Az mínusz végtelentől a parabola csúcspontjáig nézve szigorúan monoton csökken, attól jobbra plusz végtelenig pedig szigorúan monoton növekszik. Most a parabola csúcsa x=-1-nél van (ezt már kiszámoltuk, ott volt a minimum is természetesen), tehát:

szig.mon.csökk. ha x ∈ ]-∞, -1]

szig.mon.növő, ha x ∈ [-1, +∞[

(az ∈ jel az "eleme" jele)

Ezt az intervallum-jelölést így kell olvasni: példákat írok:

x ∈ [1, 2] : zárt intervallum 1 és 2 között, vagyis 1 ≤ x ≤ 2 (egyenlő is lehet, mert zárt intervallum)

x ∈ ]1, 2] : jobbról zárt intervallum 1 és 2 között, vagyis 1 < x ≤ 2 (jobbról egyenlő is lehet, mert jobbról zárt)

x ∈ [1, 2[ : balról zárt intervallum 1 és 2 között, vagyis 1 ≤ x < 2 (balról egyenlő is lehet, mert balról zárt)

x ∈ ]1, 2[ : nyílt intervallum 1 és 2 között, vagyis 1 < x < 2 (nem lehet egyenlő sehol)

Ahol plusz vagy mínusz végtelen van, ott zárt nem lehet, mert a végtelen nem zárt:

x ∈ ]-∞, +∞[ : nyílt intervallum, amibe minden valós szám beletartozik. Úgy is írjuk, hogy ℝ (real, vagyis valós)

7. Értelmezési tartomány:

Minden x számra ki lehet számolni a függvény értékét, ezért a teljes ℝ valós számhalmazban értelmezve van:

Dt = { x ∈ ℝ }

(most azért Dt, nem pedig Da, mert most a t(x) függvényről van szó. A D betű az angol domain szóra utal.)

8. Értékkészlet:

Azt mondja meg, hogy milyen y értékeket vehet fel a függvény. Most -4-et és annál nagyobbakat vehet csak fel, vagyis:

Rt = { y ∈ [-4, +∞[ }

(Az R betű a range szóra utal)