Gauss divergencia tétel? (többi lent)

Az integrálást x,y,z koordinátákkal nem könnyű csinálni, érdemesebb áttérni gömbi koordinátákba.

A gömb sugara 'a', középpontja a (0,0,0) pont. Az integrálás a gömbi koordinátákban ezek között a határok között megy tehát:

0 ≤ r ≤ a

0 ≤ θ ≤ 2π

0 ≤ φ ≤ π

Mivel div F = 3(x²+y²+z²), és x²+y²+z² az gömbi koordinátákban éppen r², ezért 3r²-et kell integrálni. A Jacobi determináns gömbi koordinátákba való átváltáskor r²·sinφ, tehát ez lesz az integrál:

∫∫∫3r²·r²·sinφ dφ dθ dr

Az egyes integrálok a fenti határok között mennek, de azokat nem tudom ideírni, képzeld a ∫ jelek alá-fölé.

sinφ-ből -cosφ lesz a primitív fv. A belső határozott integrál pedig:

[-cosφ·3r⁴] (φ=0 .. π) = 3r⁴

Nem függ a θ-tól, tehát a θ szerinti integrál sima konstans-integrál, a primitív fv. 3r⁴·θ lett. 0-tól 2π-ig a határozott integrál eredménye 6π·r⁴

Már csak a külső integrál marad:

∫6π·r⁴ dr

(r=0..a)

primitív fv: 6π·r⁵/5

határozott integrálja: 6π·a⁵/5

Brr, rosszul integráltam:

[-cosφ·3r⁴] (φ=0 .. π) = 6r⁴

(nem pedig 3r⁴)

A végeredmény is persze a duplája lesz: 12π·a⁵/5