Egy papírszalagra egymásután 20-szor felírjuk a 379-et. Legtöbb hány részre vágható szét ezután a papírszalag úgy, hogy minden darabján különböző természetes számot kapjunk?

A teljes hossz 60 számjegy.

Akkor lesz a legtöbb darab, ha minél rövidebbekre vágjuk.

Egy hosszúakból lehet 3,7,9

Aztán kettőből 37,93,79

Vedd észre, hogy a 3-mal nem osztható hosszúakból mindből pontosan 3 darab tud lenni, majd a hosszabbakból is. És ezek lehetnek egymás mellett is.

Három hosszúból már nem lehet kettő egymás mellett. Szóval először 379, utána kell valami másik nem 3-mal osztható hoszúság (mondjuk 4 hosszú), úgy jöhet megint 3 hosszú:

379,3793,793,7937,937,9379

Ezzel a 4 hosszúak is mind megvannak.

Ezeknek az össz-hossza eddig 3·1+3·2+3·(3+4) = 30

Öt hosszúakból lehet egymás mellett a 3: 37937,93793,79379

Az összes hossz így már 45, maradt még hely 15-nek.

A hat osztható 3-mal, tehát azok nem lehetnek egymás mellett. Egyébként is már csak 2 fér el belőle. Az egyiket rakhatjuk a végére, a másikat meg korábbra bárhova, ami nem 3-mal osztható hely. Mondjuk az első után.

A végén így kimaradna 3 számjegy. De az nem maradhat ki, mert akkor kétszer lenne az a 3 hosszú, vagyis az utolsó 6 hosszú helyett 9 hosszú számunk lesz.