Ezzel a példával sehogy sem boldogulok. Hogyan oldjam meg? Ezerkösz a segítségért

Az előzőnek fogalma sincs, csak írt valamit - felelőtlen alak! Ez egy középiskolai emelt szintű feladat.

Legegyszerűbb koordináta- geometriailag igazolni, de lehet vektorokkal és Pitagorasz-tételekkel is, csak az bonyolultabb.

Tegyük a kört koordináta-rendszerbe, a két húr egyenese legyen a két koordináta-tengely, a kör középpontja legyen K(u;v), sugara pedig "r".

Ekkor a kör tengelymetszeteinek abszolút értékei lesznek a keresett két húr a, b, c, d szeletei. A körök területképleteit felírva és Pivel osztva, néggyel szorozva azt kapjuk az eredeti feladatból, hogy ezt kellene csak igazolni:

a^2+b^2+c^2+d^2=4*r^2

A kör egyenlete: (x-u)^2+(y-v)^2=r^2

Ha ebben a köregyenletben y helyére 0-t írunk, akkor megkapjuk a kör tengelymetszeteit, azaz az a és c előjeles értékét.

Ez tehát:

a=|u+gyök(r^2-v^2)|

c=|u-gyök(r^2-v^2)|

Ha most x helyére 0-t írunk, akkor megkapjuk a kör tengelymetszeteit, azaz a b és d előjeles értékét.

Ez tehát:

b=|v+gyök(r^2-u^2)|

d=|v-gyök(r^2-u^2)|

Innen már csak számolás, talán nem kell részleteznem:

a^2+b^2+c^2+d^2 = ( u+gyök(r^2-v^2) )^2+( u-gyök(r^2-v^2) )^2+( v+gyök(r^2-u^2) )^2+( v-gyök(r^2-u^2) )^2 =

(itt elvégzem, a kétszeres szorzatok mind kiesnek!)

=u^2+r^2-v^2 + u^2+r^2-v^2 + v^2+r^2-u^2 + v^2+r^2-u^2=

= 4*r^2 ...és kész.

Számomra kicsit bonyolult vurugyu béla - egyébként jó - megoldása, de csak egy esetet tárgyal, holott több, a feladatnak megfelelő változat is van. Ezért másképp álltam neki a megoldásnak, a triviálistól az általánosig haladva.

[link]

Megjegyzések a rajzhoz

A szöveg alatt piros keretben az igazolandó összefüggés látható.

1. ábra

Azt hiszem, külön magyarázat nem szükséges.

2. ábra

A függőleges húr 'd' mérete (a húr fele) az ABC derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasság, ami a magasságtétel értelmében az átfogó két szeletének a mértani közepe.

3. ábra

Remélem, a jelölésekkel egyértelmű a megoldás.

DeeDee

***********