Mi ennek a feladatnak a megoldása?

n=2-re:

bal oldal:

1/1+1/4=5/4

jobb oldal:

2-1/2=3/2=6/4

5/4<6/4 igaz.

Indukciós feltevés:

szumma( 1/k^2)<2-1/n

Be kell bizonyítani, hogy

szumma (1/k^2)+1/(n+1)^2 értéke kisebb, mint 2-1/(n+1)

Indukciós feltevést kihasználva:

szumma (1/k^2)+1/(n+1)^2<

(2-1/n)+1/(n+1)^2=2-1/n+1/(n+1)^2 (*)

Eddig fonalasan ment minden.

Ezt kéne alakítgatni, hogy kijöjjön a megoldás.

Nem túl szép módszer, de sokszor a legegyszerűbb, ha egyből összevetjük azzal, amit kapni akarunk:

2-1/n+1/(n+1)^2<2-1/(n+1)

1/(n+1)+1/(n+1)^2<1/n

(n+2)/(n+1)^2<1/n

n*(n+2)<(n+1)^2

2n<2n+1

mindig igaz

vagyis azonosságra jutottunk és csak ekvivalens lépéseket csináltunk, ezért a kiinduló állítás is igaz volt. Ezzel kész a bizonyítás.

Elegánsabb, ha csak a (*) egyenletet alakítjuk tovább és a végén éppen kipotyog, amit kapni szeretnénk.

n=2 esetén behelyettesítettem a képletbe. Teljes indukciónál mindig ez az első lépés.

Össze kellett adni az 1^2 és a 2^2 reciprokát.

1. lépés: nézzük meg, igaz-e az állítás n=2-re. (Azért erre, mert n>=2 a feltétel.)

szumma megy 1-től n-ig.

Vagyis a szumma most 1-től 2-ig megy.

Két tag van, amiket összeadtam.