Valaki segítene megoldani ezeket a matek ZH példákat? Jól jönne minden segítség. Kösziii

1)

Várható érték:

E(ξ) = Σ k·P(ξ=k) = (-1)·1/6 + 0·1/3 + 1·1/3 + 2·1/6 = 1/2

Szórás:

D²( ξ) = E(ξ²) - (E(ξ))²

E(ξ²) = Σ k²·P(ξ=k) = (-1)²·1/6 + 0²·1/3 + 1²·1/3 + 2²·1/6 = 7/6

(E(ξ))² = (1/2)²

D²( ξ) = 7/6 - 1/4 = (14-3)/12 = 11/12

D(ξ) = √D²(ξ) = 0.9574

Vagyis a C a jó

2)

n = 5

p = 0,8

P(X=2) = (5 alatt 2)·p²·(1-p)³ = 0,0512

Vagyis az A a jó

3)

Az X valószínűségi változó az, hogy 20 oldalon hány hiba van.

Annak a várható értéke, hogy 20 oldalon hány hiba van: (20/300)·120 = 120/15 = 8

(Úgy is ki lehet ezt számolni, hogy egy oldalon várhatóan 120/300 hiba lesz, 20 oldalon pedig ennek a 20-szorosa)

A Poisson eloszlás λ paramétere pont megegyezik a várható értékkel. Tehát λ=8

Poisson:

P(X=k) = (λ^k/k!)·e^(-λ)

Annak valószínűsége, hogy 0 hiba lesz:

P(X=0) = (λ^0/0!)·e^(-λ) = (1/1)·e^(-8)

Ilyen válasz nincs, tehát E a jó

4)

A λ paraméterű exponenciális eloszlás várható értéke 1/λ

Most 1/λ = 4, ezért λ = 1/4

P(ξ<x) = 1 - e^(-λx)

(x≥0 esetén)

P(ξ>1) = 1 - P(ξ<1) = 1 - (1 - e^(-λ·1)) = e^(-λ) = e^(-1/4) = 0,7788

Vagyis a D a jó

5)

N(25, 15)

Sajnos szokták úgy is jelölni a normális eloszlást ilyen N() módon, hogy a második paraméter a szórás, meg úgy is, hogy a szórásnégyzet. Inkább a szórás a gyakoribb, remélem, ti is  úgy jelöltétek.

µ = 25

σ = 15

A ξ valószínűségi változót standardizálni kell:

ζ = (ξ-µ)/σ

x=28 standardizáltja:

z = (28-µ)/σ = 3/15 = 1/5 = 0,2

Az ehhez tartozó valószínűséget pedig a standard normális eloszlás táblázatában (Φ) lehet megnézni:

P(ξ<28) = Φ(0,2) = 0,5793

Ja, meg se kellett volna nézni a pontos értéket :)

A jó válasz az A

6)

500: 2/1000

100: 10/1000

10: 50/1000

0: 938/1000

a) E(X) = 500·2/1000 + 100·10/1000 + 10·50/1000 + 0·938/1000

E(X) = (500·2 + 100·10 + 10·50)/1000 = ...

b) D(X) = √(E(X²)-E²(X))

E(X²) = (500²·2 + 100²·10 + 10²·50)/1000 = ...

vond ki belőle az a) négyzetét, és vonj gyököt.

7)

Feltételezem, hogy 1 kg tésztából 1 kg kalács sül (nem igaz egyébként). Lesz 20 szelet.

a) 30 mazsola jut összesen 20 szeletbe, ezért 1 szeletnél a várható érték:

µ = 30/20

b)

Poisson: λ = 30/20

P(ξ=3) = (λ³/3!)·e^(-λ)

8)

p = 0,05

n = 8

a) Binom: E(X) = n·p = 0,4

b)0 vagy 1 selejtes:

P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1)

Binom:

P(X=k) = (n alatt k)·p^k·(1-p)^(n-k)

P(X=0) = 0,95^8

P(X=1) = 8·0,05·0,95^7

9)

µ = 170

σ = 10

a)

P(X<150) = ?

Standardizálás:

Z = (X-µ)/σ

z = (150-170)/10 = -2

P(X < 150) = Φ(Z < -2)

A Φ táblázatban csak a Gauss görbe felső fele van benne, a negatív z-k nincsenek. De szimmetrikus, ezért

Φ(Z < -2) = Φ(Z > 2) = 1 - Φ(Z < 2) = 1 - Φ(2) = 1 - 0,9772

Vagyis 2,28% alacsonyabb 150cm-nél

b)

Standardizálás:

z1 = (165-170)/10 = -0,5

z2 = (175-170)/10 = 0,5

P(X<175) = Φ(0,5) = 0,6915

P(X<165) = Φ(-0,5) = 1 - Φ(0,5) = 0,3085

P(165 < X < 175) = 0,6915 - 0,3085 = ...

10)

Bernoulli egyenlőtlenség:

Valójában ez a Csebisev egyenlőtlenség:

P(|X − µ| ≥ ε) ≤ D²(X)/ε²

Ha ezt binomiális eloszlás n-ed részére alkalmazzuk, akkor jön ki a nagy számok Bernoulli-féle gyenge törvénye:

P(|X/n - p| ≥ ε) ≤ p(1-p)/(n·ε²)

Bizonyára ezt nevezitek Bernoulli egyenlőtlenségnek.

p = 0,1

n = ?

hibás áruk relatív gyakorisága: X/n

adott selejtarány: 0,1 (=p)

attól való eltérés: |X/n - p|

ez kisebbegyenlő legyen 0,03-nál legalább 95% valószínűséggel:

P(|X/n - p| ≤ 0,03) ≥ 0,95

Ez pedig pont a fenti egyenlőtlenség annak ellenére, hogy mindkét egyenlőtlenség pont fordított irányú.

Vagyis:

ε = 0,03

p(1-p)/(n·ε²) = 0,95

→ n = p(1-p)/(0,95·ε²)

n = 0,1·0,9/(0,95·0,03²)

n = 105,26

persze n kerek szám kell legyen, vagyis n=106

(nem szabad lefelé kerekíteni! Több kísérlet átlaga kell.)