Hogyan kell megoldani ezt a feladatot?

1.

W akkor altér, ha

- u,v ∈ W esetén u+v ∈ W

és

- tetszőleges λ∈ℝ esetén λ·u ∈ W.

Nézzük W₁-et:

Legyenek:

u=[u₁, u₂, u₃, u₄]

v=[v₁, v₂, v₃, v₄]

Tudjuk róluk, hogy u₁ = u₂+u₃ és u₂ = u₃+u₄. Hasonlót tudunk v-ről is.

- Összegük:

w = u+v = [w₁, w₂, w₃, w₄]

w = u+v = [u₁+v₁, u₂+v₂, u₃+v₃, u₄+v₄]

A W halmaz megadása miatt ez akkor ∈ W, ha igaz rá ez az összefüggés:

w₁ = w₂+w₃ és w₂ = w₃+w₄

w₂+w₃ = (u₂+v₂)+(u₃+v₃) = (u₂+u₃)+(v₂+v₃) = u₁ + v₁ = w₁

Ez tehát igaz. És a másik?

w₃+w₄ = ... számold hasonlóan végig, hogy kijön-e belőle w₂?

- λ szorosuk:

w = λ·u = [w₁, w₂, w₃, w₄]

w = λ·u = [λu₁, λu₂, λu₃, λu₄]

Megint, ez akkor ∈ W, ha igaz rá ez az összefüggés:

w₁ = w₂+w₃ és w₂ = w₃+w₄

w₂+w₃ = λu₂ + λu₃ = λ(u₂+u₃) = λ·u₁ = w₁

Ez kijött.

Ugyanezt kell csinálni w₂=w₃+w₄ ellenőrzésével is, számold végig.

Vagyis kijön, hogy W₁ altér.

Hasonlóképpen meg kell nézni W₂-t is, csak persze arra teljesen más szabályok vannak megadva.

Hmm, nem tudom.

Elvileg azt is kellene bizonyítani, hogy ℝ⁴ vektortér, de hát azt csak nem kell...

Nem lehet, hogy elrontottál valamit a levezetésben?

Kicsit rákerestem. Azt is nézni kell, hogy:

- W ⊆ ℝ⁴

- W ≠ ∅

Ezek egyébként itt egyértelműen teljesülnek. A részhalmaz triviális, a nem üres halmaz szintén, hiszen pl. a nullvektor W₁-nek és W₂-nek is része.

Bázis W₁-hez:

(alfák helyett inkább w-ket írok)

Tudjuk, hogy w₁=w₂+w₃:

w₁ - w₂ - w₃ = 0 → (1 -1 -1 0)

és w₂=w₃+w₄:

w₂ - w₃ - w₄ = 0 → (0 1 -1 -1)

Ez az egyenletrendszer mátrixa:

(1 -1 -1 0)

(0 1 -1 -1)

Csináljunk erre Gauss eliminációt. Most kész is vagyunk, ez már nem eliminálható tovább.

Ebből a mátrixból természetesen az eredeti egyenletek olvashatók ki megint, ha visszaírjuk egyenlet-alakba. (Szóval most nem is lett volna szükség erre az egészre eddig.) Ha a Gauss működött volna, akkor kevesebb egyenletet kaphattunk volna.

Szóval ezek vannak:

w₁=w₂+w₃

w₂=w₃+w₄

w₁ és w₂ kötött változók, w₃ és w₄ szabad változók (azokból kifejezhetők a kötöttek). Két szabad változó van, vagyis 2 dimenziós az altér.

Érdemesebb az első egyenlet helyett ezt használni: (behelyettesítjük w₂-t)

w₁=(w₃+w₄)+w₃ = 2·w₃+w₄

Bázisokat kapunk, ha egyszerre 1 szabad változó értékét nem 0 értékre választjuk, a kötötteket meg kifejezzük:

w₃, w₄ = 1, 0:

w₁ = 2·1+0 = 2

w₂ = 1+0 = 1

Tehát az egyik bázis: (2 1 1 0)

w₃, w₄ = 0, 1:

w₁ = 2·0+1 = 1

w₂ = 0+1 = 1

Tehát a másik bázis: (1 1 0 1)

----

Bázis W₂-höz:

(alfák helyett itt is w-ket írok)

w₁ = γ·w₃ + γ·w₄

Most nem is kezdek Gauss-ozni, csak egy egyenlet van, úgyse lehet kevesebb. 3 szabad változó van, tehát 3 dimenziós az altér. w₁ az egyetlen kötött változó, w₂, w₃ és w₄ szabadok.

Bázisok: w₁ w₂ w₃ közül csak az egyik nem 0:

1, 0, 0: w₁ = γ·0+γ·0 = 0 → (0 1 0 0)

0, 1, 0: w₁ = γ·1+γ·0 = γ → (γ 0 1 0)

0, 0, 1: w₁ = γ·0+γ·1 = γ → (γ 0 0 1)

Brrr, a végén elcsúsztam eggyel valamiért. E helyett:

"Bázisok: w₁ w₂ w₃ közül csak az egyik nem 0:"

ez kellett volna:

"Bázisok: w₂ w₃ w₄ közül csak az egyik nem 0:"

A Span-ről nem igazán tudom, hogy mi, valószínű az alterek által generált altér? Vagyis a W₁+W₂ halmaz.

A két altér bázisait egy mátrixba írjuk:

(2 1 1 0)

(1 1 0 1)

(0 1 0 0)

(γ 0 1 0)

(γ 0 0 1)

Aztán Gauss elimináljuk: második sorban marad w₁:

(0 -1 1 -2)

(1 1 0 1)

(0 1 0 0)

(0 -γ 1 -γ)

(0 -γ 0 1-γ)

--- harmadik sorban marad w₂:

(0 0 1 -2)

(1 1 0 1)

(0 1 0 0)

(0 0 1 -γ)

(0 0 0 1-γ)

--- első sorban marad w₁

(0 0 1 -2)

(1 1 0 1)

(0 1 0 0)

(0 0 0 2-γ)

(0 0 0 1-γ)

---

Ha γ=1, akkor az utolsó sor csupa 0, ha γ=2, akkor az utolsó előtti, ha meg γ valami más, akkor az utolsó kettő lineárisan összefüggő, az egyikből csupa nullát lehet csinálni.

Maradt tehát 4 sor, vagyis 4 dimenziós az altér. Tehát a teljes ℝ⁴.

---

Másik megoldás:

Nézzük meg a W₁ ∩ W₂ alteret:

W₁ ∩ W₂ = {(w₁,w₂,w₃,w₄) | wᵢ ∈ ℝ, w₁=w₂+w₃, w₂=w₃+w₄, w₁=γw₃+γw₄}

Vagyis w₁ = w₂+w₃ = γw₃+γw₄

w₂-t behelyettesítve a második egyenletből:

(w₃+w₄)+w₃ = γw₃+γw₄

2w₃ + w₄ = γw₃ + γw₄

(2-γ)w₃ = (γ-1)w₄

Ha γ=1, akkor w₃=0. Ekkor w₄ az egyetlen szabad változó, tehát 1 dimenziós az altér.

Ha γ=2, akkor w₄=0. Ekkor w₃ az egyetlen szabad változó, tehát 1 dimenziós az altér.

Ha γ bármi más, akkor pedig:

w₃ = w₄·(γ-1)/(2-γ)

Ekkor is mondjuk w₄ az egyetlen szabad változó, tehát ekkor is 1 dimenziós az altér.

Vagyis dim(W₁ ∩ W₂) = 1

Tudjuk, hogy dim(U+V) = dim(U) + dim(V) - dim(U ∩ V)

ezért dim(W₁+W₂) = 2 + 3 - 1 = 4

Vagyis W₁+W₂ = ℝ⁴