Egy matematika példa?

A logaritmusokat célszerű közös alapra helyezni.

loga(b)=logc(b)/logc(a). Hármas alapú logaritmusra térjünk át, azt viszonylag könnyű kezelni.

log3(log3(a)/log3(81)=log3(log3(a))/log3(81)

81-nek a hármas alapú logaritmusa 4, tehát:

log3(log3(a)/4)=log3(log3(a))/4 [szorzunk néggyel]

4*log3(log3(a)/4)=log3(log3(a)) [a négyes szorzást a logaritmus azonosságai szerint felvisszük a logaritmus mögé a kitevőbe]

log3(log3(a)/4)^4=log3(log3(a)) [a logaritmusfüggvény szigorú monotonitás miatt a logaritmusokat "elhagyhatjuk"]

(log3(a)/4)^4=log3(a) [log3(a)-t x-szel helyettesítjük az áttekinthetőség érdekében]

(x/4)^4=x

x^4/256=x

x^4=256x

x^4-256x=0

x(x^3-256)=0 [egy szorzat akkor 0, ha valamely tényezője 0]

x=0

vagy

x^3-256=0, azaz x=256 a harmadik gyök alatt.

Ekkor visszahelyettesítünk: x=log3(a)

x=0

log3(a)=0

log3(a)=log3(1)

a=1

x=3.gyök(256)

log3(a)=3.gyök(256)

a=3^(3.gyök(256)) (csúnya szám, de megoldása az egyenletnek, mert eleme az értelmezési tartománynak)

Szerintem egyszerűbb a gondonlat menet, ha azt használjuk ki, hogy log_a^c b = 1/c * log_a b; illetve log_a b^c = c * log_a b. (ennek egyértelmű felhasználása, hogy log_a^c b = log_a b^(1/c))

81 ugye 3^4, tehát a fenti összefüggések alapján átírhatjuk, hogy:

log_3[(1/4)*(log_3[a])] = log_3[(log_3[a])^(1/4)]

Kivonva a jobb-oldalt és felhasználva, hogy log_a b - log_a c = log_a b/c:

log_3[(1/4)*(log_3[a]/(log_3[a]^(1/4))] = 0

(log_3[a]/(log_3[a]^(1/4)) = log_3[a]^(3/4)

Tehát: log_3[(1/4)*(log_3[a]^(3/4))] = log_3[1]

log szig mon

(1/4)*(log_3[a]^(3/4)) = 1

log_3[a]^(3/4) = 4

Negyedik gyökre emelünk

log_3[a]^3 = 4^4 = 256