Levezetné nekem valaki a feladat megoldását?

x^˘=(75^y^^)/28 - itt első körben a bal oldalt elosztom 28-cal tehát, hogy az egyenlőség utána is fenn álljon a jobb oldalt is osztod.

Utána meg "x a negyedikent" x^˘ negyedikgyök alá kell vonni és a jobb oldal egészét is csak ezt nem tudom itt lerajzolni.

Na leírom szavakkal, elég paraszt lesz de nem tudoma hatványkitevőket bevarázsolni.

Van a baloldalad 28 darab x a negyediken, ez egyenlő a jobb oldallal. Cél eljutni x-hez. Tehát hogy x = ?

A bal oldalt a 28 darab x a negyedikent elosztom 28-cal, de hogy az egyenlőség megmaradjon a jobb oldalt is osztom 28-cal.

Majd x a negyedikent 4. gyök alá vonom, hogy megkapjam ikszet. Tehát iksz egyenlő negyedik gyök alatt (75 y a köbön osztva 28-cal)

Elakadtam közben. Nem tudom. Failed.

Egy megoldást én is kihoztam. Megtaláltam, hogy hol hibáztam az imént. De azért koránt sem vagyok biztos abban, hogy ez a két legkisebb olyan x és y pozitív egész, amire teljesül az egyenlőség :D Nos akkor a megoldásom a következő.

Az addig stimmel, hogy 28 és 75 relatív prímek. Ezért 28|y^3 és 75|x^4. Ezen kívül a bal oldal páros (28-cal való szorzás miatt, ezért x^4, tehát x páros és páratlan is lehet), emiatt a jobb oldalnak is párosnak kell lennie. Márpedig az akkor lesz páros, ha y^3 páros, azaz y is páros.

Ez az jelenti, hogy a bal oldal 2^2*7*(2^x*7^y*3^k*5^2k)^4 alakú, a bal oldal hasonló megfontolásból pedig 3*5^2*(3^a*5^b*2^2n*7^n)^3 alakú. Nyilván valamennyi kitevő pozitív egész kell legyen. Elvégezve a hatványozásokat és a lehetséges összevonásokat, kapunk egy kifejezést, ahol mindkét oldalon 2, 3, 5, 7 hatványai állnak. Ez csak akkor teljesül, ha a kitevő megegyeznek.

Az egyenletek tehát: 2+4x=6n (2), 1+4y=3n (7), 4k=1+3a (3), 8k=2+3b (5) - zárójelben a hatvány alapjai :) Ennek a legkisebb pozitív megoldása n=3, y=2, x=4 és k=1, a=1, b=2. Innen visszahelyettesítéssel x=58800 és y=1646400 :D