Legyen a1, a2, . , an eleme[0.1]. Be tudod bizonyitani? (a1+a2+. +, an+1) ^>vagy=4 (a1^+a2^+. +an^)

Az a kalap jel mit jelent?

Nem hagytad le a kitevőt?

Jaja, nem is olyan nehéz.

Először is, a [0;1] intervallumbeli számokra igaz, hogy a^2<=a.

Emiatt az elemek négyzetösszege becsülhető felülről:

a1^2+a2^2+...+an^2<=a1+a2+...+an

Jelöljük most S-sel az a1+a2+...+an összeget.

Az egyenlőtlenség jobb oldalát felülről becsüljük 4*S-sel. Ha ez kisebb a bal oldali kifejezésnél, akkor igaz az állítás.

Tehát azt kell bizonyítani, hogy

(S+1)^2>=4*S

felbontva:

S^2+2S+1>=4*S

átrendezve:

S^2-2S+1>=0

összevonva:

(S-1)^2>=0

Mivel ez nyilván igaz, és ekvivalens átalakításokat végeztünk, így a bizonyítandó egyenlőtlenség is igaz.

Összerakva az egyenlőtlenségláncot, teljesül az eredeti állítás.