Egy szabályos hatszög és egy szabályos nyolcszög kerületei egyenlők. Mekkora területük aránya?

Legyen

Kh - a hatszög kerülete

Kn - a nyolcszög kerülete

a - a hatszög oldala

b - a nyolcszög oldala

q = Th/Tn = ?

A két idom területe (levezetés nélkül)

A hatszögé

Th = 6*(a²√3)/4

Th = a²*(3√3/2)

A nyolcszögé

Tn = b²*2(√2 + 1)

A két terület aránya

q = (a²/b²)*(3/4)*(√3/(√2 + 1))

az utolsó tag nevezőjét gyöktelenítve

q = (a²/b²)*(3/4)*(√3/(√2 - 1))

A két kerület arányából

Kh = Kn

6a = 8b

ebből

a/b = 4/3

Behelyettesítve a 'q' képletébe

q = (4/3)²*(3/4)* (√3/(√2 - 1))

Egyszerűsítés után

q = [4√3(√2 - 1)]/3

vagy kicsit átalakítva a pontos érték

q = 4(√6 - √3)/3

============

Számszerűen (közelítőleg)

q ≈ 0,956585

==========

DeeDee

***********