5. Lineáris teret alkotnak-e az alábbiak a valós számtest felett: a) 3x3-as mátrixok b) 3x3-as mátrixok, amelyek első sorának első eleme 2. c) Azonos típusú diagonálmátrixok?

[link]

Nézd meg a formális definíciónál hogy mi kell ahhoz hogy lineárs tér legyen.

Kell összeadás művelet, ami kommutatív, asszociatív, van neutrális elem és invertálható.

Kell egy skalárral való szorzás művelet, ami disztributív és van egységelem.

Ha bármelyik feltétel nem teljesül, akkor nem az, ha mind teljesü lakkor az.

pl. b) feladat egyszerű, hiszen ha összeadnál két ilyen mátrixot, akkor az első elemnél már 4-es szerepelne, így ez lineáris tér.

a) Mátrixoknál van összeadás, ami kommutatív, asszociatív, neutrális elem a csupa 0 mátrix és az inverze ha minden elemét -1-el szorzod.

van skalárral való szorzás i, ami minden elemet megszoroz egy adott számmal, ez pedig disztributív. Egység elem az 1.

Ezért lineáris tér

c) szintén az, mivel a műveletek ugyanúgy érvényesek itt is, és a két művelet nem vezet ki, azaz ha összeadsz két diagonális mátrixot az szintén diagonális lesz ha pedig számmal szorzod úgyszintén.