Legyenek a, b és c lineárisan független vektorok. Igaz-e, hogy alábbi vektorok is lineáris független vektorok? A) a + b, b + c, c + a b) a + 2b + c, a − b − c,5a + b − c

Egy vektorrendszer akkor lineárisan összefüggő, ha valamilyen (nem triviális) lineáris kombinációjuk a nullvektort adja.

Vagy másképpen: valamelyik vektor felírható a többi vektor lin. kombinációjaként.

Ha nem ilyenek, akkor lineárisan függetlenek.

Nem tudom,hogy tanultál-e mátrixműveleteket, vagy determinánst. Ha az együtthatók determinánsa nulla, akkor nem függetlenek.

Ha nem, akkor annyit kell tudni, hogy a lineáris függetlenségen nem változtat, ha vmelyik vektor valahányszorosát hozzáadod vagy kivonod egy másik vektorból. Továbbá eloszthatod, megszorozhatod bármelyik vektort, akkor is lin. ftlen marad a rendszer. Így az első vektorhármassal eljátszva:

(a+b; b+c; c+a) <--> (a+b; a+2b+c; c+a) <--> (a+b; 2b; c+a) <--> (a; 2b; c+a) <--> (a; b; c)

Tehát (a+b; b+c; c+a) lin. ftlenek.

A második esetben:

(a+2b+c; a-b-c; 5a+b-c)

a 2-ikat adjuk az elsőhöz:

(2a+b; a-b-c; 5a+b-c)

a 2-ikat adjuk a 3-ikhoz:

(2a+b; a-b-c; 6a-2c)

megfelezzük a 3-ikat:

(2a+b; a-b-c; 3a-c)

az elsőt kivonjuk a 3-ikból:

(2a+b; a-b-c; a-b-c)

Innen "ordít", hogy lin. összefüggőek...

A definíciót kell használni: Akkor függetlenek, ha

λ1·(a+b) + λ2·(b+c) + λ3·(c+a) = 0

csak akkor teljesül, ha mindhárom λ nulla.

Átrendezve:

(λ1+λ3)a + (λ1+λ2)b + (λ2+λ3)c = 0

Most jön a csavar: Azt tudjuk, hogy a,b,c lin.függetlenek, tehát a definíció szerint mindhárom szorzó nulla kell legyen.

λ1+λ3 = 0

λ1+λ2 = 0

λ2+λ3 = 0

és most meg kell oldani ezt az egyenletrendszert.

Ezt oldd meg. Ha csupa 0 jön ki, akkor függetlenek, ha meg nem, akkor függőek. (Ez most csupa 0 egyébként.)

A b) feladatot is ugyanígy kell megoldani.