Mi az alábbi lineáris feladatnak a megoldása?

α)

A feladat írja, hogy az n darab a-val jelölt vektor bázis. Tehát van n elemű bázis. Akkor viszont minden bázis n elemű.

A C vektorhalmaz n−1+n−2, vagyis 2n−3 elemű. Ez akkor lehet bázis, ha:

2n−3 = n

vagyis ha n=3.

Ekkor C = {a1−a2, a2−a3, a1+a3}

Ez tényleg bázis, mert ezek a vektorok lineárisan függetlenek. Ezt így lehet belátni:

Akkor független, ha

λ1(a1-a2) + λ2(a2-a3) + λ3(a1+a3) = 0

csak akkor teljesül, ha mindegyik λ = 0. Nézzük:

λ1(a1-a2) + λ2(a2-a3) + λ3(a1+a3) = (λ1+λ3)a1 + (λ2-λ1)a2 + (λ3-λ2)a3

Ez pedig tudjuk, hogy csak akkor 0, ha az együtthatók nullák (mert a1,a2,a3 lineárisan függetlenek). Vagyis:

λ1+λ3 = 0

λ2−λ1 = 0

λ3−λ2 = 0

Ennek pedig a megoldása: λ1=λ2=λ3=0

β)

Span(C):

C elemeinek lineáris kombinációjaként előállíthatóak ezek:

((a1−a2) + (a2−a3) + (a1+a3))/2 = a1

...

((a[n-2]−a[n-1]) + (a[n-1]−a[n]) + (a[n-2]+a[n]))/2 = a[n-2]

Vagyis az első félből két egymást követő valamint az n-1-gyel odébb lévő vektorok összeadásával előállítható az eredeti bázis első n-2 eleme.

Ezek közül a[n-2]-vel, valamint az n-2-edik C vektorral, ami az a[n-2]−a[n-1], kijön lineáris kombinációként az a[n-1]:

a[n-2] − (a[n-2]−a[n-1]) = a[n-1]

Ezzel, valamint az n-1-edik C vektorral, ami az a[n-1]−a[n], kijön lineáris kombinációként az a[n]:

a[n-1] − (a[n-1]−a[n]) = a[n]

Vagyis elő tudtuk állítani a bázis mindegyik elemét, ezért a teljes R^n vektortér is előállítható.

Tehát dim Span(C) = n

Brr, bocs, összekevertem a dolgokat. Ez ennek a feladatnak a megoldása volt:

[link]

Ez a feladat:

Mi akar lennie a ρ(A)? Én a determinánsra tippelek.

- Háromszögmátrix determinánsa egyszerűen a főátló elemeinek a szorzata, tehát α.

- Ha α≠0, akkor a determináns nem nulla, tehát a mátrix invertálható.

Az inverz kiszámítása többféle módon is mehet, nem tudom, melyik tetszik jobban. Ha már determinánsról volt szó, lehet, hogy az adjungált mátrixszal lenne érdemes, de ilyen háromszögmátrixokat Gauss eliminációval sem túl bonyolult. Meg tudod csinálni, vagy segítsek? Melyik legyen?

Ha α≠0, akkor az A mátrix rangja 3. Ez ugyanis egy háromszögmátrix, szóval pont olyan, mint amit a Gauss elimináció első lépése csinál, és nincs benne csupa 0-ás sor.

Ha α=0, akkor a rang 2, mert két nem csupanulla sor van.

Inverz Gauss eliminációval:

(persze csak akkor lesz inverz, ha α≠0)

Kiinduló mátrix:

[ 1 1  0 | 1 0 0 ]

[ 0 1 -1 | 0 1 0 ]

[ 0 0  α | 0 0 1 ]

Harmadik sor osztva α-val:

[ 1 1 0 | 1 0  0 ]

[ 0 1 -1 | 0 1  0 ]

[ 0 0 1 | 0 0 1/α ]

Harmadik sor hozzáadva a másodikhoz:

[ 1 1 0 | 1 0 0 ]

[ 0 1 0 | 0 1 1/α ]

[ 0 0 1 | 0 0 1/α ]

Második sor kivonva az elsőből:

[ 1 0 0 | 1 -1 -1/α ]

[ 0 1 0 | 0  1  1/α ]

[ 0 0 1 | 0  0  1/α ]

Ami a függőleges vonaltól jobbra van, az az inverz mátrix.