Mi az alábbi feladatnak a megoldása?

a)

Akkor altér, ha bármely két vektorának összege is eleme az altérnek, valamint bármely vektorának tetszőleges λ∈ℝ skalárral való szorzata is eleme.

W1:

u = [a,b,c,d], a=b+c, b=c+d

v = [e,f,g,h], e=f+g, f=g+h

u+v = [a+e,b+f,c+g,d+h], eleme-e W1-nek?

a+e=(b+c)+(f+g) = b+f + c+g, rendben van

b+f=(c+d)+(g+h) = c+g + d+h, rendben van

λ·u = [λa,λb,λc,λd] eleme-e W1-nek?

λa = λ(b+c) = λb + λc, rendben van

Tehát W1 altér.

W2:

u = [a,b,c,d], a=γc+γd

v = [e,f,g,h], e=γg+γh

u+v = [a+e,b+f,c+g,d+h], eleme-e W1-nek?

a+e=(γc+γd)+(γg+γh) = γ(c+g)+γ(d+h), rendben van

λ·u = [λa,λb,λc,λd] eleme-e W1-nek?

λa = λ(γc+γd) = γ(λc)+γ(λd), rendben van

Tehát W2 altér.

b)

W1 egy bázisa:

- α3 és α4 egyértelműen előírja α2-t, az meg α1 értékét.

- α3 és α4 együtt nem lehet 0, mert akkor a többi is 0 lenne.

Tehát 2 bázis van, pl. ezek:

a = [1,1,0,1]

b = [2,1,1,0]

W2:

- β3 és β4 egyértelműen meghatározzák β1-et. β2 ezektől független.

Tehát 3 bázis van, pl. ezek:

c = [0,1,0,0]

d = [γ,0,1,0]

e = [γ,0,0,1]

c)

Span(W1,W2) = Span(W1 ∪ W2) a kérdés. Használjuk a b) kérdés válaszában felírt bázisvektorokat:

W1∪W2 tartalmazza ezeket a vektorokat is:

c+e=[γ,1,0,1]

a = [1,1,0,1]

Span(W1∪W2) tartalmazza mindezek lineáris kombinációit is, tehát ezt is:

c+e−a = [γ−1,0,0,0]

Ez γ≠1 esetén érdekes!

Persze tartalmazza ennek a (γ−1)-ed részét is (az is lineáris kombináció), vagyis az i=[1,0,0,0] vektort. Akkor viszont benne vannak ezek mind:

i = [1,0,0,0]

c = [0,1,0,0]

d−γi = [0,0,1,0]

e−γi = [0,0,0,1]

és ezek minden lineáris kombinációja is, vagyis a teljes ℝ⁴

Tehát ha γ≠1, akkor Span(W1,W2) = ℝ⁴

Ha γ=1, akkor

c+d=[1,1,1,0]

b = [2,1,1,0]

A Span-ben ezek lineáris kombinációja is bejön:

b-c-d = [1,0,0,0]

Itt is elő lehetett állítani i-t, meg aztán a többi triviális bázist is.

A folytatás tehát ugyanaz, ekkor is Span(W1,W2) = ℝ⁴

- Hú, jó bonyolult. Már ott az elején se értem hogy most ott az a,b,c,d az a1, a2, a3, a4 -t jelenti. a=alfa?

Igen. Bárhogy lehet nevezni, nem csak alfának meg bétának. És amikor u+v-t csinálunk, akkor nem lehet u-nál is meg v-nél is α1 nevű az első elem, mert az azt jelentené, hogy egyformák. Ezért találtam inkább ki az a-tól h-igokat.

- És itt a W1-nél miért csak az a+e és a b+f-t vizsgáltuk meg, ott van még a c+g meg a d+h.

Mert W1-nek az a tulajdonsága, hogy α1 = α2+α3 valamint α2=α3+α4. Vagyis α1-re és α2-re mond valamit, a másik kettőre nem mond semmit. u+v esetén pedig α1 = a+e, α2=b+f

- És ez hogyan jött ki? Miért egyenlő?

- (b+c)+(f+g) = b+f + c+g

Egyszerűen felbontottam a zárójelet és átrendeztem.

És ugye b+f lesz u+v-nek az α2-je, c+g pedig α3-ja.

- Itt miért lesz eleme?

- λa = λ(b+c) = λb + λc, rendben van

- Hiszen ebben nincsen benne ez: λb + λc

- λ·u = [λa,λb,λc,λd]

λ·u-nak α1-e λa, α2-je λb, α3-ja pedig λc. α1=α2+α3 tehát ez kell legyen: λa=λb+λc, és éppen ez jött ki.

- Itt a W2-nél az elírás hogy eleme-e W1-nek? (nem W2-nek?)

Igen, bocs, ez W2 kellett volna legyen.

- W1∪W2 tartalmazza ezeket a vektorokat is:

- c+e=[γ,1,0,1]

- a = [1,1,0,1]

- Miért tartalmazza?

Az tiszta volt, hogy a b) válasznál az a,b,c,d,e nem ugyanazok, mint az a) válasznál? Lehet, hogy jobb lett volna más jelöléseket használnom a bázisvektorokra.

Kérdésedre a válasz: W2 tartalmazza bázisvektorainak minden lineáris kombinációját, tehát c+e-t is. W1 pedig tartalmazza az a-t, mert az neki bázisvektora. A kettő uniója tartalmaz mindent, ami vagy W1-nek, vagy W2-nek a része.

Azt ugye tudod, mi a lineáris kombináció?