Feltételezve, hogy a kivett golyó piros lett, mennyi a valószínűsége annak, hogy az érmével fejet dobtunk?

Feltételes valószínűségekről van szó.

Nevezzük az eseményeket így: E esemény az, hogy az érmével fejet dobunk, a G pedig az, hogy a golyó piros.

Ezt tudjuk kapásból:

P(E) = 1/2 (fej)

P(Ē) = 1/2 (írás)

P(G|E) = 12/(6+12) = 2/3 (piros, ha fej: A urna)

P(G|Ē) = 14/(3+14) = 14/17 (piros, ha írás: B urna)

Amit keresünk, az a P(E|G) valószínűség (fej, ha piros).

Tudjuk, hogy P(A|B) = P(B|A)·P(A)/P(B)

(Bayes tétel. Tanultátok? Ha nem, máshogy is meg lehet csinálni.)

Vagyis: P(E|G) = P(G|E)·P(E)/P(G)

Ebből már csak P(G) nem ismert (piros golyó húzásának valószínűsége)

Tudjuk azt is, hogy P(B) = P(B|A)·P(A) + P(B|Ā)·P(Ā)

Most: P(G) = P(G|E)·P(E) + P(G|Ē)·P(Ē)

(szavakkal: pirosat úgy húzhatunk, hogy P(E) valószínűséggel az A urnából húzunk pirosat, vagy P(Ē) valószínűséggel a B urnából húzunk pirosat)

P(G) = 2/3·1/2 + 14/17·1/2 = 1/3 + 7/17 = 24/51

Tehát P(E|G) = P(G|E)·P(E)/P(G) = (2/3)·(1/2)/(24/51) = 51/72