Egyetemi matek feladatok megoldásában tudnátok segíteni?

1)

f(x) = |x^3-6x^2+12x-8|

Eloszor irjuk szorzatta, hogy tudjuk hol vannak a 0 helyei.

f(x) = |(x-2)^3|

Vagyis transzformaciokkal: fogod az x^3 fuggvenyt, eltolod jobbra 2-vel, a negativ reszet tukrozod az x tengelyre.

Igy fog kinezni:

[link]

2)

f(x)=√lg(x^2-3)

Itt a ertelmezesi tartomanyt kell meghatarozni.

Nyilvan valos fuggvenykent kell ertelmezni f(x)-et.

Erdemes kivulrol befele haladni:

a gyok alatt nem allhat negativ szam, tehat lg((x^2-3) >0

kell, hogy legyen.

vagyis x^2-3 > 1 kell, hogy legyen.

vagyis x^2> 4

Tehat x ∈ (-∞,-2) U (2,∞)

h(x) = (3-x)/(4+2x)

Ezt szet lehet bontani constans+ constans/linearis fuggveny alakra:

h(x)= (5-2-x)/(4+2x) = 5/(4+2x) -(1/2)*(4+2x)/(4+2x) =

=-(1/2) + 5/(4+2x) = -0,5 + (5/2)*1/(2+x)

Vagyis fogod az 1/x fuggvenyt,

eltolod balra 2-vel,

kinyujtod az y tengely menten az 5/2 reszere

es vegul eltolod lefele -0,5-del:

[link]

4) s(x)=5/(x^2-3x+3) ertekkeszlete kell.

Eloszor is az x^2-3x+3 egy normal allasu parabola es ezert az ertekkeszlete:

[0,75 ; ∞)

Ezert ennek a reciproka (0; 4/3] lesz, aminek az 5-szorose:

(0; 20/3]

Itt a plot:

[link]

f(x) = lg|x| - x^2 - 6 zerushelyeinek a szama kellene

Ez szimmetrikus az y tengelyre, tehat elegendo az x>0 helyekkel foglalkozni, majd a vegen a zerushelyek szamat meg kell duplazni.

ha x>0 akkor viszont:

f(x) = lg(x) - x^2 - 6

Ha tudsz derivalni, akkor lathato, hogy van egy maximuma a fuggvenynek az √(1/2) helyen es itt a fuggveny erteke nem eri el a 0-t, vagyis nincs zerus helye.

Ha nem tudsz derivalni, akkor mondjuk az egy megoldas lehet, ha abrazolod az x^2 + 6 fuggvenyt es az lg (x) fuggvenyt,

grafikus megoldasbol latod, hogy lg(x)>x^2+6 minden x-re,

es igy lg(x) - x^2 -6 < 0, vagyis nincs zerus hely.

Az egy erdekes kerdes, hogy milyen c ertekre lesz az

lg(x) -x^2 - c egyenletnek zerushelye

nekem c ≥ (1+ln(ln100))/ln(100) = 0.54877008313 jott ki

mivel itt c=-6 ezert nyilvan nincs zerus hely. Viszont ez hosszas szamolas eredmenye, nem hiszem, hogy erre lenne szukseged (mellesle abban se vagyok biztos, hogy sehol nem szamoltam el).