Másodfokúra visszavezethető egyenletekben, és egyenletrendszer megoldásban (11. osztály) tudnál segíteni?

1)

12x^4 -20x^3 -x^2 -20x + 12 =0

Osztva az egeszet x^2-tel:

12x^2 +12/x^2 -20x-20/x -1 = 0

12(x+1/x)^2 -24 -20(x+1/x) -1 = 0

t=x+1/x jelolessel:

12t^2 -20t -25 = 0

(6t+5)(2t-5)=0

t1 = -5/6

x+1/x = -5/6

6x^2 +5x +6 = 0

megoldokeplettel megoldod.

(nincs valos gyok)

t2 = 5/2

x+1/x=5/2

2x^2 -5x +2 = 0

(2x -1)(x-2 )=0

x=1/2 es x=2 a gyokok.

2x^4 + 3x^3 -16x^2 +3x +2 = 0

osszunk megint x^2 - tel.

2(x^2 + 1/x^2) + 3(x+1/x) -16 = 0

2(x+1/x)^2 -4 + 3(x+1/x) -16 = 0

jeloljuk:

t=x+1/x

2t^2 + 3t - 20 = 0

(2t-5 )(t+4 )=0

t1 = 5/2

x+1/x=5/2

2x^2 -5x +2 = 0

(2x -1 )(x-2 )=0

x=1/2 es x=2 a megoldasok

t2 = -4

x+1/x = -4

x^2 + 4x + 1 = 0

(x +2-√3)(x+2+√3) = 0

x=-2+√3 es x=-2-√3 a megoldasok.

3)

9x^2 -12xy +4y^2 -18x +12y +9 = 0

x^2 -3xy + 2y^2 -4x +5y +3 = 0

Az elso egyenletbol:

(3x-2y)^2 -6*(3x-2y) + 9 = 0

Jeloljuk

t= 3x-2y

t^2 - 6t + 9 = 0

(t-3)^2 = 0

t = 3

3x-2y = 3

y = (3/2)(x-1)

Ezt majd behelyettesitjuk.

Most az elso egyenletbol vonjuk ki a masodik egyenlet ketszereset, hogy az y^2-es tag eltunjon:

7x^2 -6xy -10x +2y +3 = 0

Most helyettesitunk be:

7x^2 -6x(3/2)(x-1) -10x +2(3/2)(x-1) +3 = 0

-2x^2 +2x=0

x(x-1)=0

x=0, y = -3/2

vagy

x=1 y=0