Matek, hogy kell kiszámolni?

Az előző válaszadó nem a feladatot oldotta meg. A kérdés ugyanis az, hogy mely egész számra lesz négyzetgyök(x a négyzeten + x + 1) racionális. Ehhez először is tudni kell, hogyha x egész, akkor x^2+x+1 is egész, és hogy az egészek közül csak a négyzetszámok négyzetgyöke racionális. Ezek közül persze az első nyilvánvaló, a másodikat a legkönyebb a Schönemann-Eisenstein kritériumból belátni, de ha ezt nem ismered, úgy is meggyőzheted magad, hogy minden négyzetmentes számról belátod, hogy a négyzetgyöke irracionális (ezt úgy, ahogy a gyökkettő irracionalitását látja be Eukleidész az Elemekben), aztán észreveszed (mondjuk a Számelmélet alaptételéből, de anélkül is simán kijön), hogy minden szám előáll egy négyzetszám és egy négyzetmentes szám szorzataként, így a négyzetgyöke egy rac. és egy irrac szorzata, tehát irrac. (ha rac. volna, akkor osztva a rac. tényezővel megkapnánk az irrac. tényezőt, ami kevéssé lehetséges). Ha eddig eljutottunk, akkor már csak azokat a z x egészeket kell megkeresnünk, amikre x^2+x+1 azaz (x+1)*x+1 = z négyzetszám. tegyük fel, hogy x nemnegatív, ekkor (x+1)^2=(x+1)*x+x+1>=(x+1)+1, így z négyzetgyöke legfeljebb x+1 (egyenlőség csak akkor áll, ha x=0), és x^2+x+1>x^2, így pozitív megoldás nincs. A 0 megoldás. A negatív eset diszkusszióját ezekután rádbízom.