Valaki megtudja oldani ezeket a feladatokat?

1.

p prímszám nem lehet 2, mert az nem állhat elő összegként.

Vagyis p páratlan, ezért az összeg és különbség egyik tagja 2.

p=2+r

p=s-2

Vagyis r,p,s Egymás után jövő plan számok.

Csak a 3,5,7 lehet. Mert a 3 számból az egyik mindig osztható 3-mal.

2.

p^2+11

Ha p=2, akkor 15. Ennek 4 osztója van.

p plan.

p^2+11 biztosan osztható 4-el (és persze 2-vel is.)

Vagyis az osztók ezek lesznek:

1, p^2+11

2, (p^2+11)/2

4, (p^2+11)/4

Olyan p-t keresünk, aminek nincs már osztója.

De p^2+11 mindig osztható 3-mal is, ha p nem 3.

(pl p=5 36, p=7, 60 stb.)

Ha p=3.

20 jön ki, aminek 6 osztója van.

Ha p nem 3, akkor

(p^2+11)/4=3-nak kell lennie.

Ebből p=1, ami nem jó.

Csak a 3 megoldás.

3. 3^n+5^n írjuk fel az első pár tagot:

n=0, 2

n=1, 8

n=2, 34

n=3,

3^n+5^n=k*(3^n-1+5^n-1) egyenletet kéne megoldani.

k nem lehet 3, mert

3*(3^n-1+5^n-1)=3^n+3*5^n-1<3^n+5^n

de 5 se lehet, mert

5*(3^n-1+5^n-1)=5*3^n-1+5^n>3^n+5^n

Vagyis k=4.

3^n+5^n=4*(3^n-1+5^n-1)=4*3^n-1+4*5^n-1=3^n-1+3^n+5^n-5^n-1

Mindkét oldalból kivonva 3^n+5^n-t

0=3^n-1-5^n-1

5^n-1=3^n-1

Ez akkor egyenlő, ha n=1.

Más megoldás nincs.

Egyelőre ennyi nekem elég volt :)

Belenéztem párba, de a legtöbb elég nehéz. Úgyhogy ezt eléggé megszívtad...

2. oldal 29-es:

A két polinom

x^2+ax+b

x^2+cx+d

f(1)=1+a+b

f(10)=100+10a+b

f(100)=10000+100a+b

g(1)=1+c+d

g(10)=100+10c+d

g(100)=10000+100c+d

Tudjuk, hogy

(1+a+b)+(100+10a+b)+(10000+100a+b)=(1+c+d)+(100+10c+d)+(10000+100c+d)

Rendezve

a+b+10a+b+100a+b=c+d+10c+d+100c+d

111a+3b=111c+3d

37a+b=37c+d

Az a kérdés, hogy hol lesz

x^2+ax+b=x^2+cx+d

ax+b=cx+d

x*(a-c)=d-b

A fenti egyenlőséget alakítva kicsit:

37a+b=37c+d

37*(a-c)=d-b Innen a d-b-t beírva

x*(a-c)=37*(a-c)

Ez akkor egyenlő, ha

a=c, ekkor b=d, vagyis a két polinom nem különböző, ez nem jó.

Vagy

x=37.

Asszem kb még 1 vagy 2 van, amit gyorsan meg tudnék csinálni.

Itt van még kettő.

[link]

24-es

(x^2+2)*(x^2+2)=x^4+4x^2+4

Ezen kívül még marad

2x^3+4x=2x*(x^2+2)

Vagyis a kifejezés szorzattá alakítható:

(x^2+2)*(x^2+2x+2)

Egész szám * egész szám

Ez csak akkor lehet prím, ha az egyik tag 1.

x^2+2>=2.

x^2+2x+2=1.

(x+1)^2=0.

x=-1 -nél teljesül csak.

Ekkor f(x)=3, ami tényleg prím.

16.

Minden tag úgy néz ki, hogy

1-1/i^2=(i^2-1)/i^2=(i-1)*(i+1)/(i*i)

Vagyis az első tag 1*3/2*2

A 2. tag: 2*4/3*3

Ha felírjuk az első 3 tagot, meg mondjuk az utolsó 2-őt, akkor szépen látszik, hogy mik esnek ki.

Az marad, hogy 1/2*(n+1)/n

(n+1)/n>1, ezért ez tényleg nagyobb, mint 1/2.

19-es.

A számláló:

x^2+3x+3=x^2+4x+5-(x+2)

Vagyis a tört átírható:

1-(x+2)/[x^2+4x+5]=1-(x+2)/[(x+2)^2+1] alakba

x befutja a valós számokat, akkor x+2 is.

Ezért helyettesíthető x+2=a-val.

1-a/(a^2+1)

Ennek kell a minimuma és maximuma.

Ha a>0, akkor pozitív a tört, a<0, akkor negatív.

Elég megkeresni

a/(a^2+1) maximumát.

a/(a^2+1)>=1/k

tfh, 1/K a maximum, akkor azt a k-t keressük, ami a legkisebb, akkor lesz 1/k a legnagyobb.

a/(a^2+1)>=1/k

k*a/(a^2+1)>=1

k*a>=(a^2+1)

0>=a^2-k*a+1

Ennek akkor van megoldása, ha a diszkrimináns nem negatív

D=k^2-4 >=0

Vagyis a legkisebb k, amire ez igaz k=2.

A tört maximuma 1/2 (a=1-nél veszi fel)

A kifejezés tehát

1-1/2 és 1+1/2 között van (0,5 és 1,5 az értékkészlet.)

20-as

A feltételt a-val beszorozva, majd átrendezve:

a^2/bc=a-ab/(a+c)-ac/(a+b)

Ugyanígy beszorozva béval és c-vel kijön a 3 tag, ami a 2. sorban szerepel, összeadjuk a három egyenletet. Bal oldalt ott van, amit keresünk, jobb oldalt pedig voalá kiesik minden, vagyis 0-val lesz egyenlő.