Hogy bizonyítsuk be?

Mondjuk elemi eszközökkel így:

0² maradéka 5-tel osztva 0, tehát igaz

1² maradéka 1, arra is igaz

2² maradéka 4, az se 3

3² maradéka 4, ok

4² maradéka 1, ok

A többi szám pedig felírható 5k+m alakban, ahol k≥1 egész, m pedig {0,1,2,3,4} közül valamelyik.

(5k+m)² = 25k² + 2·5k·m + m²

Ennek a maradéka 5-tel osztva megegyezik m² maradékával, amiről már beláttuk, hogy nem lehet 3.

először is a képlet:

x*x = 5*n + 3

n-re rendezzük:

n = x*x/5 - 3/5

a két törtet összevonjuk:

n = (x*x-3)/5

szóval n csak akkor és csak is akkor természetes szám, ha az "x*x-3" 0-ra vagy 5-re végződik (mert ugye egy számot 5-tel osztva csak akkor kapunk egész számot, ha az osztandó 0-ra vagy 5-re végződik)

x*x-3 ha 0-ra végződik, akkor az x*x utolsó számjegye 3, mert ugye 3-3=0. Tehát a négyzetszám utolsó számjegyének 3-nak kell lennie, nézzük meg:

1*1=1 itt 1-es az utolsó számjegy

2*2=4 itt 4-es az utolsó számjegy

3*3=9 itt 9-es az utolsó számjegy

4*4=16 itt 6-es az utolsó számjegy

5*5=25 itt 5-es az utolsó számjegy

6*6=36 itt 6-es az utolsó számjegy

7*7=49 itt 9-es az utolsó számjegy

8*8=64 itt 4-es az utolsó számjegy

9*9=81 itt 1-es az utolsó számjegy

10*10=100 itt 0-es az utolsó számjegy

11*11=121 itt ÚJRA 1-es az utolsó számjegy

mivel innen már ismétli a sorozatot láthatjuk hogy NINCS olyan négyzetszám aminek 3-as a vége, na ez jó

tehát akkor most már csak az maradt hogy az "x*x-3" 5-re végződik. Tehát akkor a négyzetszám utolsó számjegye 8. Fentebb megnézzük, hoppá nincs 8-asra végződő négyzetszám :(

Tehát akkor a "x*x-3" biztos nem osztható maradék nélkül 5-tel, tehát n sosem lesz egész szám

Remélem tudtam segíteni (: ha valamit nem értesz benne szívesen segítek/elmagyarázom