Matek házi: Oldjuk meg az egyenletet: cosx=sin (x-2pí/3)?

Ugye tudjuk, hogy cos(x)=sin(90°-x),

ezért sin(90°-x)=sin(x-2pi/3),

ezért pi/2-x=x-2pi/3, innen már könnyű.

Kicsit részletesebben, amit az első válaszoló elkezdett:

[link]

Gyakorlatilag a második válaszoló megadta ennek a feladatnak minden megoldását, de elméletileg lehet még több is. (Most nem lesz több, úgyhogy aki szőrszálhasogatásnak érzi, ne olvassa tovább. Egyébként is kicsit szájbarágóan magyarázom :) )

Odáig minden rendben, hogy sin(pi/2-x) = sin(x-2pi/3). Innen viszont két ágon kellene továbbmenni.

Gondolj mondjuk az egységsugarú körre. Itt egy kép hozzá:

[link]

Nézd a szaggatott vízszintes vonalat az ábrán. Ahol metszi a vonal a kört, az a pont mutatja a v szöget. A vonal távolsága az x tengelytől (az ábrán 0,5) pont megegyezik a v szög szinuszával.

Viszont a szaggatott vonal két helyen is metszi a kört. A jobb oldali metszéspontnál van a 'v' szög, a bal oldalon pedig a 180°-v (vagyis a π-v) szög. Mindkettőnek a szinusza ugyanannyi.

Vagyis ha sin α = sin β, akkor α és β lehet ugyanaz a v szög (α = β), de lehet úgy is, hogy egyik a kör egyik oldalán van, a másik a másik oldalon. Vagyis α=π-v, β=v. Máshogy írva, amikor v-t kihagyjuk: α = π-β.

És persze a körön akárhányszor körbepöröghetünk, a szinusz akkor is ugyanaz marad, tehát az általános megoldás ez a kettő:

1) α = β + 2k·π

2) α = (π - β) + 2k·π

Most pedig ehhez a feladathoz a megoldások:

1. α = β + 2k·π

π/2-x = x-2π/3 + 2k·π

Ez volt a második válaszoló megoldása, nem csinálom újra végig.

2. α = (π-β) + 2k·π

π/2-x = π - (x-2π/3) + 2k·π

-x = 2k·π - π/6 - x

A következő lépésben mindkét oldalhoz x-et adva eltűnik az x és nem jutunk megoldáshoz, mivel 2k·π nem egyenlő π/6-tal. Szóval ez a második ág nem vezetett most megoldáshoz.

Viszont ha kicsit más lett volna a feladat, akkor már ezen az ágon is kijött volna megoldás. Tehát mindenféleképpen figyelembe kell venni ezt is.

Mondjuk ennél a feladatnál:

cos(2x) = sin(x-2π/3)

Ha gondolod, oldd meg.