Hol helyezkedik el egy csonkakúp tömegközéppontja?

Legyen a kup magassaga "h" (a korok kozeppontjat osszekoto egyenes), "R1" a sugar az alapnal, "R2" a sugar felul.

1. Ha tudsz integralni: az alaptol y tavolsagra levo, dy vastagsagu lemez tomege:

dm = ρdV = ρπr²dy

Ha a sugar R1 az alapnal (y = 0) es R2 felul (y = h), akkor az alaptol y tavolsagra:

r = R1 - y(R1-R2)/h

vagyis:

dm = ρπ(R1-y(R1-R2)/h)²dy

A tomegkozeppont Yt koordinataja:

Yt = integral(ydm) / integral(dm)

(integralsz y = 0-tol h-ig)

A tomegkozeppont Xt es Zt koordinataja zero, mert x es z iranyokra szimmetrikus.

2. Ha nem tudsz integralni: Egy sikkal oszd fel a "h" magassagu csonkakupot ket kisebb csonkakpura, ugy, hogy a felso tomege egyenlo legyen az also tomegevel. Ha a sik "y" tavolsagra van az alaptol:

m1 = ρV1 = ρπt(R1² + R1r + r²)/3

m2 = ρV2 = ρπ(h-y)(r² + rR2 + R2²)/3

Tovabba tudod, hogy r = R1 - y(R1-R2)/h

Ha egyenlove teszed m1-et es m2-t, es behelyettesited r erteket, akkor a kapott "y" a tomegkozeppont Yt koordinataja lesz.

A tomegkozeppont Xt es Zt koordinataja zero, mert x es z iranyokra szimmetrikus.

Bocs, a masodik pontnal m1 kifejezese:

m1 = ρV1 = ρπy(R1² + R1r + r²)/3