Oldjuk meg a valos szamok halmazan a kovetkezo egyenletet?

Hat igen, egy kicsit kell sakkozni vele, hogy kijojjon.

Egy kicsit atrendezem: a [(x+1)/2] kifejezest fel lehet irni igy: [(x/2)+(1/2)] = [(x/2)+0.5]

vagyis az egeszbol ez lesz:

[x/2 + 0.5] + [x/4 + 0.5] + [x/8 + 0.5] = 2

Milyen erteket vehet fol x?

- ha x negativ, a baloldalon levo osszeg negativ vagy zero, nem erheti el a 2-t

- ha x zero, a baloldalon levo osszeg zero, nem megoldas

Kovetkezik, hogy x pozitiv kell legyen! Ekkor mindharom baloldalon levo tag zero vagy pozitiv. Abbol, hogy pozitivak, az is kovetkezik, hogy:

[x/2 + 0.5] ≥ [x/4 + 0.5] ≥ [x/8 + 0.5]

Tovabba tudjuk, hogy mindharom tag egesz szam, ugyanis egeszresz fuggvenyek.

A fenti ket eszrevetelt eszreveve, csak a kovetkezo ket lehetosegunk van:

a. 2 + 0 + 0 = 2

b. 1 + 1 + 0 = 2

a. A kovetkezo egyenletrendszerunk van:

[x/2 + 0.5] = 2

[x/4 + 0.5] = 0

[x/8 + 0.5] = 0

Az elso egyenletbol x ∈ [3,5)

A masodik egyenletbol x ∈ [-2,2)

A harmadik egyenletbol x ∈ [-4,4)

Viszont ezek egyszerre nem teljesulhetnek, az elso ket egyenlet kozt ellentmondas van, tehat ez nem megoldas.

b. A kovetkezo egyenletrendszerunk van:

[x/2 + 0.5] = 1

[x/4 + 0.5] = 1

[x/8 + 0.5] = 0

Az elso egyenletbol x ∈ [1,3)

A masodik egyenletbol x ∈ [2,6)

A harmadik egyenletbol x ∈ [-4,4)

Ezek egyszerre akkor teljesulnek, ha x ∈ [2,3) (a harom megoldashalmaz metszete).

vagyis a megoldas 2 ≤ x < 3

Nagyon szép megoldás. Mint "néző" én is köszönöm.

Nem álltam meg, hogy a grafikus megoldást ki ne próbáljam:

[link]

Csak a pontokat kellett kézzel felraknom, mert a GeoGebra a zárt- ill. nyitott intervallumokat nem kezeli.