Megtudnátok oldani az alábbi feladatot? (MATEK)

Második:

25 éves és 1987ben született.

7+7^2+7^3+7^4=2800

két 0-ra végződik.

Ha például n=2, vagyis 8-ig kell összeadni, akkor:

7+7^2+7^3+7^4+7^5+7^6+7^7+7^8

Az 5-8 tagokból kiemelsz 7^4-ent, ez lesz:

(7+7^2+7^3+7^4)+(7+7^2+7^3+7^4)*7^4=

(7+7^2+7^3+7^4)*(7^4+1)

Vagyis osztható lesz az eredmény 2800-al, vagyis 00-ra végződik ez is.

Ha n nagyobb, mint 2, akkor ugyanígy elvégezhető lesz a kiemelés, és az eredmény mindig osztható 2800-al, vagyis 00-ra végződik.

I. Ha a 7-est kulonbozo hatvanyokra emelgeted, megfigyelheted, hogy az utolso 2 szamjegy bizonyos minta szerint valtjak egymast:

szam| utolso 2 szamjegy

7^1 | ...07

7^2 | ...49

7^3 | ...43

7^4 | ...01

7^5 | ...07

7^6 | ...49

7^7 | ...43

7^8 | ...01

... | .....

Negy egymast koveto hatvany eseten az utolso 2 szamjegy 00 lesz!

7^1 + 7^2 + 7^3 + 7^4 = ..07 + ..49 + ..43 + ..01 = ..00

7^5 + 7^6 + 7^7 + 7^8 = ..07 + ..49 + ..43 + ..01 = ..00

7^(4n-3) + 7^(4n-2) + 7^(4n-1) + 7^4n = ..07 + ..49 + ..43 + ..01 = ..00

vagyis az utolso 2 szamjegy "00".

---

II. A mult szazadban, tehat 1901 es 1999 kozott szuletett (mondjuk 2000 is a mult szazadhoz tartozik, de az nem felel meg a feladatnak).

Legyen a szuletesi ev "19XY".

A szamjegyek osszege a szuletesi evben:

1+9+X+Y = 10+X+Y

2012-ben ennyi idos:

2012 - 19XY = 2012 - 1900 - 10X - Y = 112 - 10X - Y

A feladat szerint ez a ketto egyenlo:

10 + X + Y = 112 - 10X - Y, csoportositod:

11X + 2Y = 102

Nos, itt 2 ismeretlen van, es csak 1 egyenlet, ami nem a legjobb. Viszont tudod azt, hogy:

- X es Y egesz pozitiv szamok

- X es Y 9-nel nem lehetnek nagyobbak

Belathato, hogy a 2Y tag erteke maximum 18 lehet (mert Y legtobb 9). Tehat 11X erteke minimum 84 kell legyen!

Innen az adodik, hogy X 8 vagy 9 kell legyen, viszont a 9 nem felel meg (mert akkor Y nem lenne egesz szam).

Tehat X = 8, innen pedig Y = 7.

A tag 1987-ben szuletett, 2012-ben 25 eves, tovabba 1+9+8+7 = 25.