Igaz-e, hogy véges dimenziós vektortér identikus transzformációjának mátrixa minden bázisra csak az egységmátrix?

Egy konkret peldaval elve, legyen egy 2 dimenzios vektorter.

Ez azt jelenti, hogy T = (x, y) alaku elemeid vannak.

Azt kerdezik: ha van egy olyan I matrixod, amire I(T) = T (identikus transzformacios matrix), akkor ugye I az egysegmatrix, es nem egyeb?

Nezzunk utana. Legyen az I matrix:

|a b|

|c d|

Ha I identikus transzformacios matrix, akkor I(T) = T.

I(T)-t ugy kapod meg, hogy I-vel szorzod a T elemeibol keszitett oszlopvektort:

I(T) =

|a b||x|

|c d||y|

= (ax+by, cx+dy)

De mivel I(T) = T:

(ax+by, cx+dy) = (x, y)

Innen az jon, hogy b=0, c=0, tovabba a=1, d=1.

Vagyis I kotelezo modon az egysegmatrix. Nem fugg a bazistol, nem is jott kepbe a bazis.

Ez 2 dimenziora volt, de hasonlo gondolatmenettel belathato n dimenziora. :)