Hogyan határozzam meg úgy x számot, hogy a (1,2,1), b (,3, 0,4), c (4,2, x) vektorok (R^3, +, R) terének egy bázisát alkossák?

Az a,b,c vektor akkor fog bázist alkotni egy R^3 téren, ha azok nem függenek össze lineárisan. (Csupán ennyi a bázis alkotás feltétele. NEM kell, hogy ortogonálisak is legyenek)

Magyarul: Nem tudod azt megcsinálni, hogy valahányszor a-vektor + vagy - valahánszor b vektor = valahányszor c vektor.

Ezt persze át lehet rendezni: l*a+m*b+n*c =/= 0 (l,m,n tetszőleges valós számok, de nem lehet mind egyszerre nulla) =/= meg azt jelenti, hogy nem egyenlő.

Ez alapján már elvileg meg tudod csinálni. Ha elakadtál, küldj privit, segítek

Na, akkor konkrétabban.

Fel kell írni 3 darab egyenletet.

k*1 + l*3 + m*4 =/=0

k*2 + l*0 + m*2 =/=0

k*4 + l*2 + m*x =/=0

k,l,m nem lehet egyszerre mind nulla

Mivel sok az egyenlet és sok az ismeretlen, ezért macerás lenne ezzel tökölni.

Szóval egyszerűbb, ha az együtthatókból egy mátrixot képzünk, és megnézzük a determinánsát. A mátrix:

1 3 4

2 0 2

1 4 x

Ennek a determinánsát a Sarrus-szabállyal lehet kiszámítani leggyorsabban.

Determináns= 1*0*x+3*2*1+4*2*4-4*0*1-1*2*4-2*3*x= 30-6x

Szóval a determináns= 30-6x. A fennti 3vektor akkor alkot bázist, ha a determináns nem nulla (tehát a vektorok lineárisan FÜGGETLENEK)

Szóval x helyére bármilyen valós számot beírhatsz, KIVÉVE az 5-öt. (Láthatod hogy végtelen sok megoldás van...