Mi lesz a valós számok csoportjában generált részcsoport?

a) A 3-as biztos benne van.

Emellett benne kell legyen a semleges elem is, mely az osszeadas eseten a 0.

Tovabba a 3-as inverz eleme is, ami -3.

A reszcsoport zart kell legyen az osszeadas muveletere nezve, tehat barmely ket elem osszege is a csoport eleme. Vagyis 3+3, -3+(-3), es igy tovabb.

Vagyis a reszcsoport elemei:

... -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9...

egyszerubben: 3·n, ahol n egesz szam.

b) Hasonlo gondolatmenet, viszont osszeadas helyett a szorzas muveletet veszed figyelembe.

A reszcsoport tartalmazza 1/3-at, 1-et (semleges elem), 3-at (inverz elem), tovabba barmely ket elem szorzatat (pl 3·3).

Vagyis a reszcsoport elemei:

... 1/27, 1/9, 1/3, 1, 3, 9, 27 ...

egyszerubben: 3^n, ahol n egesz szam.

--

Semleges elem a "@" muveletre: olyan elem (jeloljuk "e"-vel), mely eseten a halmaz barmely "x" elemere: x@e = e@x = x.

Peldaul az osszeadas eseten a semleges elem a 0, mert x + 0 = 0 + x = x

Szorzas eseten a semleges elem az 1, mert x·1 = 1·x = x.

--

Inverz elem a "@" muveletre: x' inverze x-nek, ha x@x' = x'@x = e.

Pl osszeadasnal 2 inverze -2, mert 2 + (-2) = 0.

Szorzasnal 2 inverze 1/2, mert 2·(1/2) = 1.

--

Miert? Miert ne.

Szia!

a) Igen, mert barmely paros szam kifejezheto 2n, es barmely paratlan szam 2n+1 (vagyis 2(n-1)+3) alakban, ahol n egesz szam.

b) Nem, mert pl 0-t vagy 5-ot vagy 7-et nem tudod kifejezni 2 es 3 (tovabba 1/2 es 1/3) szorzataival es hatvanyaival. Emellett negativ szamok sincsenek benne.

Egyszeruen (2^n)·(3^m) alaku szamok, ennel egyszerubben nem fejezheto ki. :)

n, m egesz szamok, vagyis lehetnek negativak is.

Szemleltetesert max keszithetsz egy tablazatot, ahol az oszlopokban 3 hatvanyai, a sorokban 3 hatvanyai vannak:

---- | ... 2^-2 2^-1 2^0 2^1 2^2

...

3^-2 | ... 1/36, 1/18, 1/9, 2/9, 4/9 ...

3^-1 | ... 1/12, 1/6, 1/3, 2/3, 4/3 ...

3^0 | ... 1/4, 1/2, 1, 2, 4...

3^1 | ... 3/4, 3/2, 3, 6, 12...

3^2 | ... 9/4, 9/2, 9, 18, 36 ...

...