Mi az (1-x) ^ (-1) függvény hatványsora, és ez a sor hol állítja elő a függvényt?

Fordított irányban kellene kérdezni: ha valamilyen pontban akarjuk előállítani a függvény közelítését, akkor ahhoz tudunk hatványsort számolni. Pl. x=0 körül ez lesz:

1 + x + x² + x³ + ... stb

A Taylor sor az x0 pont körül ez lesz:

f(x) = Σa_n·(x-x0)^n

Itt n nullától a végtelenig megy. a_n az n-edikenes tag együtthatója, azt így kell kiszámolni:

a_n = f^(n)(x0)/n!

Kicsit hülyén néz így ki, inkább elmondom szavakkal: Az f-et n-szer kell deriválni, és az n-edigk derivált értékét kell venni az x0 pontban, majd az egészet osztani n faktoriálissal.

(Persze amikor nullaszor kell deriválni, az azt jelenti, hogy nem kell deriválni. És 0 faktoriális az éppen 1.)

Most az f(x)=1/(1-x) függvényről van szó, és mondjuk x0=0 körül fejtjük sorba.

Először nézzük a deriváltakat:

f'(x) = 1/(1-x)²

f''(x) = 2/(1-x)³

f'''(x) = 3!/(1-x)^4

f''''(x) = 4!/(1-x)^5

stb.

Ugye ezek a deriválások érthetőek?

És akkor az együtthatók:

a_0 = f(0)/1 = 1/(1-0) = 1

a_1 = f'(0)/1 = 1/(1-0)² = 1

a_2 = f''(0)/2 = 2/(1-0)³/2 = 1

a_3 = f'''(0)/3! = 3!/(1-0)^4/3! = 1

az összes többi is 1.

Tehát a sorfejtés eredménye:

f(x) = Σa_n·(x-0)^n = 1 + 1·(x-0) + 1·(x-0)² + 1·(x-0)³ + ...