Hogyan kell ezt a két szögfüggvényt levezetni?

Először kiszamolom úgy, ahogy elkezdted, atán mutatok egy egyszerűbbet.

Pitagorasz tétellel kijön a szögfelező:

f² = √3² + x²

f = √(3+x²) = √(3 + 3/(2+√3)²)

f = √3·√(1 + 1/(2+√3)²)

f = √3·√(((2+√3)² + 1)/(2+√3)²)

mivel (2+√3)² = 4+4√3+3 = 7+4√3, ezért

f = √3·√((8+4√3)/(2+√3)²)

f = √3·√(4·(2+√3)/(2+√3)²)

f = √3·√(4/(2+√3))

Ez után a koszinusz:

cos 15° = √3/f = 1/√(4/(2+√3))

= √((2+√3)/4)

= √(2+√3)/2

Ennél jobbat nem kell belőle csinálni.

-------

Az egyszerűbb levezetés:

Nem tudom, tanutátok-e azt, hogy

cos 2x = cos²x - sin²x

Ha belevesszük azt is, hogy sin²x+cos²x=1, akkor:

cos 2x = 2cos²x - 1

cos x = √((1+cos 2x)/2)

Tudjuk, hogy ha x=15°, akkor cos2x = cos 30° = √3/2

cos 15° = √((1 + √3/2)/2)

= √((2+√3)/4)

= √(2+√3)/2

Ugyanaz jött persze ki, mint az előbb.

Csinálj rajzot. A 30 fokos háromszög oldalai: az átfogó 2, a befogók pedig 1 és √3 hosszúak. A szögfelező f hosszú. Az 1 hosszú oldalt x és 1-x szakaszokra bontja, x esik a √3 mellé. A 15 fokos derékszögű háromszög oldalai tehát: az átfogója f, a befogói pedig x és √3. A Pitagorasz tétellel:

f² = x² + (√3)²

Ez volt az első egyenlet, amit felírtam. A folytatás már nem Pitagorasz, csak átrendezések. Azokat érted? Abból kijön f-re egy nem túl bonyolult alak:

f = √3·√(4/(2+√3))

Ugye azt érted, hogy a zárójelezés azt mondja, hogy a számláló 4, a nevező 2+√3, és az egész tört négyzetgyök alatt van. A gyök elé kivittem a √3-at, mert azzal majd lehet egyszerűsíteni.

Utána a koszinusz 15-nél a szög melletti befogó √3 hosszú, az átfogó pedig f, ezért

cos 15° = √3/f

Innen már egyszerű átalakításokkal (egyszerűsítés és reciprok) jött a végeredmény.

Az utolsó képletnél:

cos 15° = √(2+√3)/2

a számláló a gyökös kifejezés, a nevező (2) már a gyökjelen kívül van.