K kockával hányféleképp lehet úgy dobni hogy a dobott számok összege épp n legyen?

Maskent kerdezve:

(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^k kifejezest szetbontva mi lesz az x^n egyutthatoja?

Megfontolando, hogy esetleg atirod ilyen alakra:

(x(x^6 - 1)/(x - 1))^k

Pl derivalgatassal celhoz lehet erni:

az n. derivalt az x=0 helyen pont a kivant erteket fogja felvenni.

Aztan egy masik megkozelites lehet, ha mondjuk az osszes lehetseges dobas sorozatok szamat igy jelolod:

N(k,n)

N(k,n)=N(k-1,n-1)+N(k-1,n-2)+...+N(k-1,n-6)

N(k,n-1) = N(k-1,n-2) + ... + N(k-1,n-7)

A masodikat kivonva az elsobol:

N(k,n) -N(k,n-1) = N(k-1,n-1) - N(k-1,n-7)

N(k,n) = N(k,n-1) + N(k-1,n-1) - N(k-1,n-7)

Namost ha visszafele szamolgatsz, akkor ugy nezem az a jo, ha kezdo erteknek N(0,0)=1, N(0,n)=0, N(k,0)=0 ertekeket veszel.

Es akkor ez mar egy rekurzio, amit differencia egyenletesen meg lehet oldani gondolom.

Ja a konstans tag a derivalt vegen a lenyeg.

(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^k kifejezest szetbontva az x^n egyutthatoja az pont ilyen 1-tol 6-ig torteno osszeadogatasokkal jon ki. Ahany kulonbozo modon ossze lehet adni annyifelekeppen lehet megcsinalni az x^n erteket a szorzatbol is.

Kepzeld el ahogy szetkapod:

(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)*(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)*(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)*...*(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)

Es akkor amikor felbontod a zarojeleket, akkor a keletkezo osszeg minden tagja ugy jon ossze, hogy minden zarojelbol veszel egy tagot.

Namos az x^n az hanyszor lesz jelen, pont annyiszor ahanyszor 1-tol 6-ig terjedo szamok osszegebol az n-et ki lehet hozni pontosan k elembol.