Jó az alábbi eredmény? Kockacukrokból egy 4×4×4-es kockát építünk. A kockacukrok hány különböző téglatestet határoznak meg, ha a téglatestek legalább egy kockacukorban különböznek?

Nem jó, sokkal több van. Csak abból van 4·4·4=64 darab, ha mindegyik kockacukrot téglatestnek számolod.

Aztán van 2 kockacukrosból egy sorban 3·4 téglatest duplán (tehát 24) úgy, hogy 12-szer x irányban, 12-szer y irányban van a második cukor az első mellett. A 4 sorban ebből van 4·24=96 téglatest. Ez a 96 mind vízszintes dupla kockacukrokat adott meg, ha a függőlegeseket is hozzáadom (azok 4·12-en vannak), van összesen 144 olyan téglatest, amiben 2 kockacukor van.

És így kell folytatni 3, 4, 6, 8, 9, stb. kockacukorból álló téglatestekkel.

1x1x1--> 64

2x2x2--> 27

3x3x3--> 8

4x4x4--> 1

1x1x2--> 3*4*24

1x1x3--> 3*4*16

1x1x4--> 3*4*8

1x2x2--> 3*4*9

1x2x3--> 3*4*12

1x2x4--> 3*4*6

1x3x3--> 3*4*4

1x3x4--> 3*4*4

1x4x4--> 3*4*1

2x2x3--> 3*3*12

2x2x4--> 3*3*6

2x3x3--> 3*3*4

2x3x4--> 3*3*4

2x4x4--> 3*3*1

3x3x4--> 3*2*4

3x4x4--> 3*2*1

Összesen: 1381

Ez most vagy el van számolva vagy nem.

1x1x2-es úgy jött ki, hogy egy 4x4-es lapon az 1x2-es 24 féleképpen lehet, de mivel 4 szint van ezért 4*24 és mivel 3 "irány" van a kockában így 3*4*24 az 1x1x2-es blokkok száma.

2x2x3-asnál: egy 4x4-es lapon a 2x3-as blokk 6 féleképpen lehet.

4 szintes a kocka, és minden blokk 2 magas, vagyis 3 féle helyzetbe lehet csúsztatni fölfelé.

És megint 3 irány van a kockában 3*3*6

Remélem érthető.

Ifjutitan, azt hiszem, ez már túl sok. A kocka alakúak rendben vannak, de mondjuk az 1×1×2-es csak feleannyi. Nézzük kicsit más oldalról:

Az 1×1×2-es az 2 kockacukor. Tegyük be a bal alsó sarokba. 3 irányba rakhatjuk, ahogy te is írtad. Nézzük azt az irányt, amikor a cukrok egymás felett vannak. Az alaplapon ezt a 2 magas tornyot 4×4=16 helyre tehetjük, függőlegesen pedig 3 szintre helyezhetjük. Ez összesen 3×16×3 lehetőség.

Hasonlóképpen:

1x1x3--> 3*16*2

1x1x4--> 3*16*1

Amikor 2 kockacukor alapú téglatestből van különböző magasságú torony (1×2×n), akkor egyrészt azokat is 3 irányba rakhatjuk. Ha n=2, akkor érdemesebb 2×2×1 alakúnak tekinteni (1 magas). Azt az alaplapon 3×3 helyre tehetjük, függőlegesen pedig 4 szintre helyezhetjük.

1x2x2--> 3*9*4 (ez neked is ennyi volt)

Ha n>2, akkor az alaplapon 2×3×4 helyre tehetjük a tornyot, mert az 1×2 állhat 1×2 meg 2×1 irányban is. A függőleges ugyanúgy megy, mint előbb.

1x2x3--> 3*2*12*2 (nálad is)

1x2x4--> 3*2*12*1 (nálad is)

1x3x3--> 3*4*4 (nálad is) ezt is 3×3×1-ként képzeltem el

Itt is állhat az alapon 1×3 meg 3×1 irányban is:

1x3x4--> 3*2*8*1 (nálad is)

1x4x4--> 3*1*4 (nálad is) ezt is 4×4×1-nek képzeltem

A 2×2×n alakúak az alaplapon 3×3 helyen állhatnak, nincs duplázás. Ez már csak fele, mint amit te számoltál:

2x2x3--> 3*9*2

2x2x4--> 3*9*1

2x3x3--> 3*4*3 (nálad is) 3×3×2 alakban

Ez is lehet 2×3 és 3×2 irányú is:

2x3x4--> 3*2*6*1 (nálad is)

2x4x4--> 3*3*1 (nálad is)

A 3×3 szimmetria miatt nincs duplázás itt sem:

3x3x4--> 3*4*1

3x4x4--> 3*2*1 (nálad is)

Nem garantálom, hogy nem néztem el valahol...

Elfogadom jogos a kritika.

1x1x1--> 64

2x2x2--> 27

3x3x3--> 8

4x4x4--> 1

1x1x2--> 3*4*12

1x1x3--> 3*4*8

1x1x4--> 3*4*4

1x2x2--> 3*4*9

1x2x3--> 3*4*6

1x2x4--> 3*4*3

1x3x3--> 3*4*4

1x3x4--> 3*4*2

1x4x4--> 3*4*1

2x2x3--> 3*3*6

2x2x4--> 3*3*3

2x3x3--> 3*3*4

2x3x4--> 3*3*2

2x4x4--> 3*3*1

3x3x4--> 3*2*2

3x4x4--> 3*2*1

Összesen: 850 (talán)

1000 lesz a jó.

1x1x1-es kockát 1 féleképpen lehet felvágni

2x2x2-es kockát 27 féleképpen (3^3)

3x3x3-es kockát 216 féleképpen (6^3)

4x4x4-es kockát 1000 féleképpen (10^3)

A sejtés az, hogy nxnxn-es kockát [n*(n+1)/2]^3

Itt egy egyszerűbb számítás:

Vegyük csak az alapot 1x4x4-es réteg.

Itt az alábbiakat lehet kiválasztani:

1x1-->16

2x2-->9

3x3-->4

4x4-->1

1x2-->24

1x3-->16

1x4-->8

2x3-->12

2x4-->6

3x4-->4

Összesen 100.

Mindegyik ilyen téglatest felfelé nőhet 1-et, 2-őt, 3-at vagy 4-et.

Vagyis 4*100=400-nál tartunk. Ezzel megszámoltunk minden téglatestet, aminek van része az alaprétegen.

Most nézzük meg ugyanígy a 2. rétegre.

Ott is 100 téglalapot lehet találni, és felfelé nőhetnek 1-et, 2-őt vagy 3-at.

Ez újabb 300 téglatest.

A 3. rétegen 200-at

Az utolsón 100-at fogunk találni.

Összesen 1000.