Mekkora a sugara annak a körnek, melynek középpontja egy derékszögű háromszög átfogóján fekszik és a kör érinti a két befogót?

A derékszög szögfelezőjén lesznek azok a pontok amik egyforma távolságra van mindkét szártól.

Vagyis a szögfelező és az átfogó metszéspontja a kör középpontja.

Ha a középpontból merőlegest bocsátunk a befogókra, akkor kapunk két kis derékszögű háromszöget.

Az egyiknél a befogó:r , átfogó legyen p

A másiknál: befogó r, átfogó c-p

A kis háromszögek hasonlóak a nagyhoz, ezért felírhatju kaz alábbi hasonlóságokat:

r/b=p/c

r/a=(c-p)/c

p-re rendezve mindkettőt:

p=r*c/b (*)

a*(c-p)=r*c

a*c-r*c=a*p

p=c(a-r)/a (**)

Vagyis

r*c/b=c(a-r)/a

r/b=(a-r)/a

ar=ab-br

r(a+b)=ab

r=ab/(a+b)

Remélem érthető rajz nélkül is.

Ez elég egyszerű így.

2 hasonlóságot kell felírni, majd átrendezni :P

De úgy is lehet, hogy

a szögfelező tétel szerint a szögfelező a szemközti oldalakat a/b arányban osztja.

Vagyis p=a*c/(a+b)

r/b=p/c (*) -be beírva p-t

r=b*p/c

r=a*b/(a+b)

Vagy használd ezt a mozgatható ábrát, hátha könnyebben megérted, hogy nem is olyan bonyolult ez:

[link]