Tudnátok segíteni nekem a matek háziban? (11. osztály)

Ezt a példát legalább 6 féleképp meg lehet oldani.

Talán a legegyszerűbb a következő:

Köregyenlet és az abcissza egyenletéből adódó egyenletrendszert megoldod.

Másodfokú lesz ez, és mivel érintő, a diszkrimináns 0. Innentől kezdve már számolható minden, mert a harmadik egyenlet (ordináta tengelyé) és a köregyenletből adódó egyenletrendszernek két megoldása lesz.

Ezek pedig éppen a metszéspontok.

De lehet egy másik módszer, hogy normál és irányvektorokat irogatunk fel.

Értelemszerűen a többféle megoldás azonos eredményre vezet.

Ha érinti az x tengelyt, az azt jelenti, hogy a középpont az x=3 függőleges egyenesen van.

Ha mondjuk a (3,v) pontban, akkor a kör egyenlete:

(x-3)^2+(y-v)^2=v^2

(Mivel érinti így a sugár éppen v)

A metszéspontjai az ordináta tengellyel az, ahol x=0

(-3)^2+(y-v)^2=v^2 Bontsuk föl:

9+y^2-2vy=0

Azt mondja, hogy a két megoldás között 8 a különbség.

Vagyis y1-y2=8.

A 2. fokú egyenlet megoldóképletével kiszámolható y.

y=v+-gyök(v^2-9)

y1-y2=2*gyök(v^2-9)

Vagyis

2*gyök(v^2-9)=8

v^2-9=16

v=+-5

A kör egyenlete:

(x-3)^2+(y-5)^2=25

Persze tök szimmetrikus a dolog, a kör érintheti fölülről meg alulról is az x tengelyt, vagyis a másik megoldásban a kp (3,-5)

(x-3)^2+(y+5)^2=25

Ennek a feladatnak a megoldásához csak egy rajz kell. :-)

Legyen

O - az origó

P - a kör középpontja

A, B - a kör és az y-tengely metszéspontjai

C - az AB szakasz - a húr - felezőpontja

T - az érintési pont az x-tengelyen

A P pontot összekötve a C ponttal és az A vagy B ponttal, előáll egy derékszögű háromszög, melynek befogói 3 (az OT távolság) és 4 (a húr fele), az átfogó meg a kör sugara, ami az adatokból r = 5.

DeeDee

***********

Azért ezt a teljesen szemléleten alapuló megoldást is érdemes lehet megnézni:

[link]

Akkor az én megoldásommal:

1. Egyenletrendszer:

A kör egyenlete:(x-u)^2+(y-v)^2=R^2

Az abszcissza egyenlete: y=0

Ismerjük a metszéspontokat, azaz az egyenletrendszer megoldását:

x=3 y=0. Ezt beírván a kör egyenletébe:

(3-u)^2+v^2=R^2

Ahol tudjuk azt is, hogy u=3, tehát:

(1) v^2=R^2

--------

2. Egyenletrendszer:

A kör egyenlete:(x-u)^2+(y-v)^2=R^2

A ordináta egyenlete: x=0

Az egyenletrendszerből kapható hogy

(2) u^2+(y-v)^2=R^2

--------

(1) és (2) egyenlet által alkotott egyenletrendszer megoldása:

(1)v^2=R^2

(2) u^2+(y-v)^2=R^2

-----------

Kivonjuk a felső egyenletből az alsót, így R^2-ek kiesnek és kapjuk hogy:

9+y^2-2yv=0

Ahol viszont a kezdeti feltételekből tudjuk hogy:

y1=v-4 és

y2=v+4.

A két y érték behelyettesítésével nyerjük az (A) ill. (B) egyenleteket:

(A) 9+v^2-8v+16-2v^2+8v=0

(B) 9+v^2+8v+16-2v^2-8v=0

--------------

Értelemszerűen mindkét egyenletből a

v^2=25 összefüggés adódik, melynek gyökei:

v1=-5 és

v2=5.

Kiszámítván ezekkel az y1 és y2 értékeket (az ordinátán mérhető metszéspontokat):

y1=v-4=-5-4=-9; vagy: y1=5-4=1

y2=v+4=-5+4=-1; vagy y2=5+4=9

Az eredményekből egyértelműen megállapítható (az előző válaszoló által is említett) szimmetria az x tengelyre.

Visszatérve tehát a kör egyenletéhez:

1. megoldás: (v=-5 esetén)

u^2+(y-v)^2=R^2

Ahol: u=3; v=-5; y1=-9 ill: -1:

A 2 y érték miatt 2 (A és B) egyenlet adódik:

(A) 9+(-9+5)^2=R^2 Ebből: R=5

(B) 9+4^2=R^2 Ebből: R=5

------

Az (A) és (B) egyenlet megegyező R értéket eredményezett, amely a számolás helyességét is jelzi.

Tehát így az első eset, amely kör egyenlet lehet:

(x-3)^2+(y+5)^2=25 (Ez az x tengely alatti köregyenlet)

-------

---------

--------

2. megoldás (v=5 esetén):

u^2+(y-v)^2=R^2

Ahol: u=3; v=5; y1=1ill: 9

A 2 y érték miatt 2 (C és D) egyenlet adódik:

(C) 9+(-4)^2=R^2 Ebből: R=5

(D) 9+4^2=R^2 Ebből: R=5

Tehát így a második

eset, amely kör egyenlet lehet:

(x-3)^2+(y-5)^2=25 (Ez az x tengely felettiköregyenlet)

-------

---------

--------