Matek háziban (10. osztály) segítségre van szükségem (? )

Érdekes, valóban át lehet írni 4-edfokúvá, amihez van megoldóképlet.

De ehelyett ér erre jutottam:

Ha a 2. tagot egy gyökjel alá vonjuk, akkor ilyen alakra hozható:

x+gyök( 1+1/(x^2-1))

Na most ebből az látszik, hogy a 2. tag az 1-nél nagyobb.

Vagyis x<=23/12

Másrészt x^2-1>0 vagyis x>1

(x nem lehet negatív, mert akkor a teljes bal oldal negatív)

Szóval 1 és 2 között kell keresni a megoldásokat.

Nyitottam egy excel táblát, és 0,01-es lépésekkel kiszámoltam a bal oldalt, 5/4-nél és 5/3-nál lesz egyenlő a két oldal.

Tehát az mindenképp érvényes megoldás, hogy

"megsejtem", hogy 5/3 és 5/4 megoldás.

Leellenőrzöm, és jé ezek jók.

Megmutatom, hogy gyök(2)-nél lesz lokális minimum, előtte utána szigorúan monoton.

Emiatt a két megsejtett megoldáson kívül nem lehet más.

Amit el tudok képzelni, hogy azzal lehetne trükközni, hogy a jobb oldal racionális, ezért a bal is, és a gyökös kifejezés p^2/q^2 alakú kell legyen.

De ennél többre én nem jutottam ezzel a feladattal, talán majd másvalaki :)

Megkérdeztem a GeoGebrát (4.2 CAS), mondhatom nagyon derekasan dolgozott:

[link]

Hogy a végén hogy' tudta szorzattá alakítani??

Nem reménytelen ez az ügy. :-)

A feladat

x + x/√(x² - 1) = 35/12

x = ?

Legyen

k = 35/12

így

x + x/√(x² - 1) = k

Egy ki rendezés

x/√(x² - 1) = k - x

x = √(x² - 1)(k - x)

mindkét oldalt négyzetre emelve

x² = (x² - 1)(k - x)²

A zárójeleket részben felbontva

x² = x²(k - x)² - (k - x)²

x² + (k - x)² = x²(k - x)²

A bal oldalt teljes négyzetté alakítva

[(x +(k - x)]² - 2x(k - x) = x²(k - x)²

A bal oldal első tagja k², és nullára redukálva az egyenletet

0 = x²(k - x)² + 2x(k - x) - k²

Legyen

x(k - x) = a

ezzel az egyenlet

0 = a² + 2a - k²

Az egyenlet gyökei

a1 = - 1 + √(1 + k²)

a2 = - 1 - √(1 + k²)

'k' értékét behelyettesítve

a1 = 25/12

a2 = - 49/12

A helyettesítési egyenletből

x(k - x) = a

ill. nullára redukálva

0 = x² - kx + a

vagyis van két egyenlet, úgymint

0 = x² - kx + a1

ill.

0 = x² - kx + a2

Ezek megoldását meghagyom a kérdezőnek, dolgozzon egy kicsit ő is. :-)

DeeDee

**************