Mateklecke:adott az x^2+y^2=9 egyenletű kör és az A (-2;-3) és B (-5;-9) pont. Adjuk meg az AB szakasz harmadolópontjaiból a a körhöz húzható érintők egyenletét. Mi a megoldása ennek a feladatnak?

Ezt pont egy hónapja kérdezte valaki. Ott válaszoltam:

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

Először a harmadolópontok: Kettő van belőle:

(2·A+B)/3 = (-3;-5)

(A+2·B)/3 = (-4;-7)

Az érintők számolásához mindkettővel végig kell ezeket számolni:

Az aktuális harmadolópont koordinátáit nevezzük (a;b)-nek. (a és b persze -3,-5 vagy -4,-7.)

Tegyük fel, hogy az érintési pont az (x;y) pont lesz. Ez a pont rajta van a körön, tehát teljesül rá ez az egyenlet:

x²+y²=9

Másrészt ay (x;y) pontba menő sugár vektora és az (x;y)-ból az (a;b) harmadolópontba menő vektor merőleges egymásra. Az pedig azt jelenti, hogy skaláris szorzatuk nulla. Ez lesz a másik egyenlet.

A kör középpontja az origó, ezért az érintési pontba menő sugár vektora éppen (x;y). Onnan a harmadolópontba menő vektor pedig (a-x;b-y). Az egyenlet tehát:

x·(a-x) + y·(b-y) = 0

Meg kell oldani az egyenletrendszert.

ax-x² + by-y² = 0

Mivel x²+y²=9:

ax+by=9

y = (9-ax)/b

x² + (9-ax)²/b² = 9

(a²+b²)x² - 18·a·x + 9(9-b²) = 0

x = (18a ±√((18a)^2-4·9·(a^2+b^2)(9-b^2)))/(2(a^2+b^2))

x = 3(3a ±√(9a^2-(a^2+b^2)(9-b^2)))/(a^2+b^2)

x = 3(3a ±√(b^4-9b^2+a^2b^2))/(a^2+b^2)

Most pedig az aktuális a és b értékekkel ki kell számolni a kétféle x-et, abból az y-t, ezzel megvan a harmadolóponthoz tartozó két érintési pont. Végül az érintők egyenleteit kell felírni, amik az érintési pontokból az aktuális harmadolópontba mennek.

Azzal még kell kicsit molyolnod...