Matek házi:Adott egy négyzet két oldalegyenesének egyenlete:2x-3y=1 és 2x-3y=12. Számítsuk ki a négyzet területét. Hogy oldjam meg?

A múlt hónapban ment már ez a feladat:

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

Azt ugye látni lehet, h ez a két egyenes párhuzamos. Ha nem is látod, akkor ábrázol koordinátarendszerben is ott látni lehet.

Tehát a két egyenes távolsága a négyzet oldalhossza, ennek négyzete pedig a területe.

2x-3y=1

2x-1=3y

(2/3)x-1/3=y

pl y=2

(2/3)x-1/3=2

2x-1=6

2x=7

x=3,5

Vagyis az első egyenesnek az egyik pontja: A(3,5;2)

Innét pedig már van képlet, egy pont és egy egyenes távolságára:

Ax + By + C = 0

ilyen formában van az egyenes egyenlete

A(x0; y0)

ez pedig a pont koordinátái

d=(Ax1+By1+C)/(sqrt(A^2+B^2))

d=(7-6-12)/(sqrt(4+9))

d=-3,05 (az előjellel ne foglalkozz)

vagyis a terület:

T=3,05*3,05=9,3

Ebből a terület:

T=0,27*0,27=0,077

Van ennek a feladatnak egy más szemléletű, mondhatnám unortodox megoldása is. :-)

Az elv:

Ha meghatározod a két egyenes x ill. y tengellyel való metszéspontjainak távolságát, akkor egy derékszögű háromszög két befogójának hosszát kapod, a keresett négyzetoldal pedig ennek a háromszögnek az átfogójához tartozó magassága.

A derékszögű háromszögben érvényes, hogy az átfogóhoz tartozó magasság négyzetének reciproka egyenlő a két befogó négyzete reciprokának összegével. Képlettel

1/m² = 1/a² + 1/b²

Ebből nekünk az m² mennyiségre van szükségünk, ami a befogók ismeretében könnyen megkapható.

A két egyenes

2x -3y = 12

2x - 3y = 1

Legyen

x0, y0 - az x ill. y tengellyel való metszéspontok

X - az x tengelyen

Y - az y tengelyen levő metszéspontok távolsága és

A - keresett négyzet oldala

Az x tengellyel való metszéspontok (y = 0)

x01 = 6

x02 = 1/2

X = 6 - 1/2

X = 11/2

Az y tengellyel való metszéspontok (x = 0)

y01 = 4

y02 = 1/3

Y = 4 - 1/3

Y = 11/3

A fenti képlet szerint ezekkel

1/A² = 1/(11/2)² + 1/(11/3)²

1/A² = 4/121 + 9/121

1/A² = 13/121

így

A² = 121/13

==========

Ez a pontos érték, kiszámolva

A² ≈ 9,30769..

==========

DeeDee

***********