Egy körben két egymást metsző, egymásra merőleges húrt rajzoltunk. Igazoljuk, hogy a húr négy szeletének négyzetösszege mindig ugyanakkora. Hogy kell?

Legyen az egyik húr az AB, a másik a CD, metszéspontjuk legyen P. A szeletek hosszai a=AP, b=BP, c=CP, d=DP. Nevezzük őket úgy, hogy a≥b és c≥d. (Ez az általánosságot nem befolyásolja.)

Rajzolj fel egy ilyen ábrát.

AB felezőpontja legyen E, CD felezője pedig F. A kör középpontja legyen O. Az ugye egyértelmű, hogy EO merőleges AB-re, FO pedig CD-re (hiszen a húrfelező merőlegesek a kör középpontjában metszik egymást).

Mivel a két húr merőleges egymásra, ezért az EPFO négyszög egy téglalap.

Nézzük az AEO derékszögű háromszöget:

AE = (a+b)/2

EO = PF = c - (c+d)/2 = (c-d)/2

AO = r a kör sugara

Pitagorasz: r² = (a+b)²/4 + (c-d)²/4

4r² = a²+b²+2ab+c²+d²-2cd

Na most lehet, hogy tudod, hogy ab=cd teljesül a húrok esetén. Ha nem tudod, akkor is kijön mondjuk úgy is, hogy nézzük teljesen hasonlóan a BFO háromszöget:

BF = (c+d)/2

FO = PE = a - (a+b)/2 = (a-b)/2

r² = (c+d)²/4 + (a-b)²/4

4r² = c²+d²+2cd+a²+b²-2ab

A két 4r² persze azonos, ebből következik, hogy:

a²+b²+2ab+c²+d²-2cd = c²+d²+2cd+a²+b²-2ab

4ab = 4cd

ab = cd

Akkor pedig a²+b²+c²+d² = 4r², tehát állandó.

Bongolo nagyszerű válaszát, két betű eltéréssel, egy dinamikus ábrával összekötve itt tettem közzé:

[link]

Remélem az ábra segítségével könnyebben követhető a bizonyítás.